📝 题目
例 6 考察积分
$$ {\int }_{a}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{p}}\;\left( {a > 0}\right) . $$
💡 答案与解析
解 因为
$$ \int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{p}} = \left\{ \begin{array}{ll} \ln x + C, & \text{ 若 }p = 1, \\ \frac{-1}{\left( {p - 1}\right) {x}^{p - 1}} + C, & \text{ 若 }p \neq 1, \end{array}\right. $$
所以
$$ {\int }_{a}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{p}} = \left\{ \begin{array}{ll} + \infty , & \text{ 若 }p \leq 1, \\ \frac{1}{\left( {p - 1}\right) {a}^{p - 1}}, & \text{ 若 }p > 1. \end{array}\right. $$
我们看到: 所给的积分当 $p > 1$ 时收敛,而当 $p \leq 1$ 时发散. 例如,以下积分都收敛:
$$ {\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2}},\;{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x}}; $$
而以下的积分都是发散的:
$$ {\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x},\;{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}. $$