📝 题目
例 7 考察积分
$$ {\int }_{0}^{b}\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{q}}. $$
💡 答案与解析
解 因为
$$ \int \frac{\mathrm{d}x}{{x}^{q}} = \left\{ \begin{array}{ll} \ln x + C, & \text{ 若 }q = 1, \\ \frac{1}{1 - q}{x}^{1 - q} + C, & \text{ 若 }q \neq 1, \end{array}\right. $$
所以
$$ {\int }_{0}^{b}\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{q}} = \left\{ \begin{array}{ll} + \infty , & \text{ 若 }q \geq 1, \\ \frac{1}{1 - q}{b}^{1 - q}, & \text{ 若 }q < 1. \end{array}\right. $$
我们看到: 所给的积分当 $q < 1$ 时收敛,而当 $q \geq 1$ 时发散. 例如,以下积分收敛:
$$ {\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}},\;{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{{x}^{2}}}, $$
而以下积分发散:
$$ {\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{x},\;{\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{2}}. $$