📝 题目
例 4 考察积分
$$ {\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{\;d}x $$
判断这积分是否收敛, 是否绝对收敛.
💡 答案与解析
解 因为
(1)当 $\displaystyle{x \rightarrow + \infty}$ 时,函数 $f\left( x\right) = \frac{1}{x}$ 单调下降趋于 0,
(2)函数 $g\left( x\right) = \sin x$ 满足
$$ \left| {{\int }_{1}^{H}\sin x\mathrm{\;d}x}\right| \leq 2,\;\forall H \geq 1, $$
所以积分
$$ {\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{\;d}x $$
收敛.
另一方面, 我们有
$$ \left| \frac{\sin x}{x}\right| \geq \frac{{\sin }^{2}x}{x} = \frac{1}{2x} - \frac{\cos {2x}}{2x}, $$
通过类似的讨论 (用狄利克雷判别法), 可以断定积分
$$ {\int }_{1}^{+\infty }\frac{\cos {2x}}{2x}\mathrm{\;d}x $$
收敛. 但已知以下积分发散于 $\displaystyle{+ \infty}$ :
$$ {\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{2x} = + \infty . $$
所以积分
$$ {\int }_{1}^{+\infty }\left( {\frac{1}{2x} - \frac{\cos {2x}}{2x}}\right) \mathrm{d}x $$
也发散. 由此得知: 积分
$$ {\int }_{1}^{+\infty }\left| \frac{\sin x}{x}\right| \mathrm{d}x $$
发散.