📝 题目
例 7 考察积分
$$ \mathrm{B}\left( {\alpha ,\beta }\right) = {\int }_{0}^{1}{x}^{\alpha - 1}{\left( 1 - x\right) }^{\beta - 1}\mathrm{\;d}x $$
的收敛性,其中 $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ .
💡 答案与解析
解 因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}{x}^{1 - a}\left| {{x}^{a - 1}{\left( 1 - x\right) }^{\beta - 1}}\right| = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}{\left( 1 - x\right) }^{\beta - 1} = 1, $$
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 1 - }}{\left( 1 - x\right) }^{1 - \beta }\left| {{x}^{\alpha - 1}{\left( 1 - x\right) }^{\beta - 1}}\right| = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 1 - }}{x}^{\alpha - 1} = 1, $$
所以,当 $1 - \alpha < 1,1 - \beta < 1$ 时,也就是 $\alpha > 0,\beta > 0$ 时,积分 $\mathrm{B}\left( {\alpha ,\beta }\right)$ 收敛. 对其他情形,这积分发散.