📝 题目
例 8 考察积分
$$ \Gamma \left( p\right) = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x}{x}^{p - 1}\mathrm{\;d}x $$
的收敛性.
💡 答案与解析
解 因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{2}\left| {{\mathrm{e}}^{-x}{x}^{p - 1}}\right| = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{\mathrm{e}}^{-x}{x}^{p + 1} = 0, $$
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}{x}^{1 - p}\left| {{\mathrm{e}}^{-x}{x}^{p - 1}}\right| = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}{\mathrm{e}}^{-x} = 1, $$
所以积分 $\Gamma \left( p\right)$ 当 $1 - p < 1$ 时即 $p > 0$ 时收敛,而当 $1 - p \geq 1$ 即 $p \leq 0$ 时发散.
以下介绍瑕积分条件收敛性的判别法.
定理 ${2}^{\prime }$ (狄利克雷判别法) 设函数 $f$ 和 $g$ 在区间 $(a,b\rbrack$ 上有定义,在其任何闭子区间 $\left\lbrack {a + \eta ,b}\right\rbrack$ 上常义可积. 如果
(1)存在 $\delta > 0$ ,使得 $f$ 在 $\left( {a,a + \delta }\right)$ 上是单调的,并且有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a + }}f\left( x\right) = 0; $$
(2)存在 $K \geq 0$ ,使得
$$ \left| {{\int }_{a + \eta }^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| \leq K,\;\forall \eta > 0, $$
那么积分 $\displaystyle{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x$ 收敛.
证明 只需用第二中值定理估计
$$ \left| {{\int }_{a + \eta }^{a + {\eta }^{\prime }}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x}\right| , $$
请读者仿照定理 2 中的做法完成本定理的证明.
定理 ${3}^{\prime }$ (阿贝尔判别法) 设函数 $f$ 和 $g$ 在区间 $(a,b\rbrack$ 上有定义,在其任何闭子区间 $\left\lbrack {a + \eta ,b}\right\rbrack$ 上常义可积. 如果
(1)存在 $\delta > 0$ ,使得 $f$ 在 $\left( {a,a + \delta }\right)$ 上单调并且有界；
(2) 积分 $\displaystyle{\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x$ 收敛,
那么积分 $\displaystyle{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x$ 也收敛.
请读者仿照定理 3 证明中的做法,自己写出定理 ${3}^{\prime }$ 的证明.
注记 关于在上限处有瑕点的积分, 也有类似的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法. 请读者自己陈述有关的定理并给出证明.