📝 题目
例 2 考察函数 “向第 $i$ 个坐标轴投影”:
$$ f\left( x\right) = f\left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) \mathrel{\text{ := }} {x}^{i}. $$
对于 $a = \left( {{a}^{1},\cdots ,{a}^{m}}\right) \in {\mathbb{R}}^{m}$ ,显然有
$$ \left| {f\left( x\right) - {a}^{i}}\right| = \left| {{x}^{i} - {a}^{i}}\right| \leq \parallel x - a\parallel . $$
因而
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = {a}^{i}. $$
定理 1 设 $D \subset {\mathbb{R}}^{m},a$ 是 $D$ 的一个聚点, $m$ 元函数 $f$ 和 $g$ 在 $\check{U}\left( {a,\eta }\right) \cap D$ 有定义, $A,B \in \mathbb{R}$ . 如果
$$ \mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}f\left( x\right) = A,\;\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}g\left( x\right) = B, $$
那么就有
(1) $\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}\left\lbrack {f\left( x\right) + g\left( x\right) }\right\rbrack = A + B$ ;
(2) $\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}\left\lbrack {f\left( x\right) g\left( x\right) }\right\rbrack = {AB}$ ；
(3) $\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) } = \frac{A}{B}\left( {B \neq 0}\right)$ .
💡 答案与解析
证明 根据函数极限的序列式定义, 所要证明的事项都可以从关于实数序列极限的相应结果推得.