📝 题目
例 4 考察二元函数
$$ f\left( {x,y}\right) = \frac{{x}^{2}{y}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2}}\;\left( {\left( {x,y}\right) \neq \left( {0,0}\right) }\right) . $$
试讨论 $\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right)$ 时这函数的极限状况.
💡 答案与解析
解 对于 $\left( {x,y}\right) \neq \left( {0,0}\right)$ ,有以下不等式成立:
$$ \left| {f\left( {x,y}\right) - 0}\right| = \frac{{x}^{2}{y}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2}} \leq {x}^{2}. $$
对任给的 $\varepsilon > 0$ ,只要
$$ 0 < \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} < \delta = \sqrt{\varepsilon }, $$
就有
$$ \left| {f\left( {x,y}\right) - 0}\right| \leq {x}^{2} \leq {x}^{2} + {y}^{2} < \varepsilon . $$
这证明了
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right) }}f\left( {x,y}\right) = 0. $$