📝 题目
例 6 考察二元函数
$$ f\left( {x,y}\right) = \frac{{x}^{2}y}{{x}^{4} + {y}^{2}}\;\left( {\left( {x,y}\right) \neq \left( {0,0}\right) }\right) . $$
试讨论 $\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right)$ 时这函数的极限状况.
💡 答案与解析
解 我们选取 ${\mathbb{R}}^{2} \smallsetminus \{ \left( {0,0}\right) \}$ 中的点的序列 $\left\{ \left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) \right\}$ ,让它沿抛物线 $y = \alpha {x}^{2}$ 趋于(0,0). 例如可取
$$ \left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) = \left( {\frac{1}{n},\frac{\alpha }{{n}^{2}}}\right) ,\;n = 1,2,\cdots . $$
对这样的序列 $\left\{ \left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) \right\}$ ,我们有
$$ f\left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) = \frac{{x}_{n}^{2}{y}_{n}}{{x}_{n}^{4} + {y}_{n}^{2}} $$
$$ = \frac{\frac{{y}_{n}}{{x}_{n}^{2}}}{1 + {\left( \frac{{y}_{n}}{{x}_{n}^{2}}\right) }^{2}} = \frac{\alpha }{1 + {\alpha }^{2}}. $$
当点列 $\left\{ \left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) \right\}$ 沿不同的抛物线 $y = \alpha {x}^{2}$ 趋于(0,0)时,相应的函数值序列 $\left\{ {f\left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) }\right\}$ 趋于不同的极限. 因而当 $\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right)$ 时,函数 $f\left( {x,y}\right)$ 没有极限.
定理 2 设一元函数 $g\left( u\right)$ 在实数 $b$ 的某个去心邻域 $\check{U}\left( b\right)$ 上有定义,并且
$$ \mathop{\lim }\limits_{{u \rightarrow b}}g\left( u\right) = c; $$
又设 $m$ 元函数 $f\left( x\right)$ 在点 $a$ 的某个去心邻域 $\check{U}\left( a\right)$ 上有定义, $f\left( {\check{U}\left( a\right) }\right) \subset \check{U}\left( b\right)$ ,并且
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = b, $$
则有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( {f\left( x\right) }\right) = c. $$
证明 对于 $\check{U}\left( a\right)$ 中收敛于 $a$ 的任意点列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ ,相应的函数值序列 $\left\{ {f\left( {x}_{n}\right) }\right\}$ 满足
$$ \left\{ {f\left( {x}_{n}\right) }\right\} \subset \check{U}\left( b\right) ,\;\lim f\left( {x}_{n}\right) = b. $$
因而
$$ \lim g\left( {f\left( {x}_{n}\right) }\right) = c. $$
这证明了定理的结论.
注记 对于限制 $x$ 沿集合 $D$ 趋于 $a$ 的情形,上面定理中的陈述需要做一些修改,相应的结果仍然成立:
$$ \mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}g\left( {f\left( x\right) }\right) = c. $$
定理 3 (关于函数极限的收敛原理) 设 $D \subset {\mathbb{R}}^{m},a$ 是 $D$ 的聚点, $m$ 元函数 $f$ 在 $\check{U}\left( {a,\eta }\right) \cap D$ 有定义. 则使得有穷极限
$$ \mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow a} \\ D }}f\left( x\right) $$
存在的充要条件是: 对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 $\delta > 0$ ,使得只要 $x,{x}^{\prime } \in D$ 满足
$$ 0 < \parallel x - a\parallel < \delta ,\;0 < \begin{Vmatrix}{{x}^{\prime } - a}\end{Vmatrix} < \delta , $$
就一定有
$$ \left| {f\left( x\right) - f\left( {x}^{\prime }\right) }\right| < \varepsilon . $$
这定理的证明, 也与一元函数的情形类似, 请读者参照第二章 §5 写出.