📝 题目
例 1 考察定义于 ${\mathbb{R}}^{m}$ 上的函数
$$ {N}_{0}\left( x\right) = \max \left\{ {\left| {x}^{1}\right| ,\cdots ,\left| {x}^{m}\right| }\right\} , $$
$$ {N}_{1}\left( x\right) = \left| {x}^{1}\right| + \cdots + \left| {x}^{m}\right| , $$
$$ {N}_{2}\left( x\right) = \sqrt{{\left( {x}^{1}\right) }^{2} + \cdots + {\left( {x}^{m}\right) }^{2}}, $$
$$ \forall x = \left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) \in {\mathbb{R}}^{m}. $$
容易验证: ${N}_{0},{N}_{1}$ 和 ${N}_{2}$ 都是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 的范数. 今后,我们将分别用记号 $\left| \cdot \right| ,\left| \cdot \right|$ 和 $\begin{Vmatrix}\cdot \end{Vmatrix}$ 表示范数 ${N}_{0},{N}_{1}$ 和 ${N}_{2}$ . 这就是说,我们约定记:
$$ \left| x\right| = \max \left\{ {\left| {x}^{1}\right| ,\cdots ,\left| {x}^{m}\right| }\right\} , $$
$$ \left| \mathbf{x}\right| = \left| {x}^{1}\right| + \cdots + \left| {x}^{m}\right| , $$
$$ \parallel x\parallel = \sqrt{{\left( {x}^{1}\right) }^{2} + \cdots + {\left( {x}^{m}\right) }^{2}}, $$
$$ \forall x = \left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) \in {\mathbb{R}}^{m}. $$
注记 在有的文献中, 采用这样的记号:
$$ \parallel x{\parallel }_{\infty } = \max \left\{ {\left| {x}^{1}\right| ,\cdots ,\left| {x}^{m}\right| }\right\} , $$
$$ \parallel x{\parallel }_{1} = \left| {x}^{1}\right| + \cdots + \left| {x}^{m}\right| , $$
$$ \parallel x{\parallel }_{2} = \sqrt{{\left( {x}^{1}\right) }^{2} + \cdots + {\left( {x}^{m}\right) }^{2}}, $$
$$ \forall x = \left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) \in {\mathbb{R}}^{m}. $$
设 $N$ 是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 的任何一个范数,则 $N$ 在 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中决定了一种距离
$$ {d}_{N}\left( {x,y}\right) = N\left( {x - y}\right) ,\;\forall x,y \in {\mathbb{R}}^{m}. $$
按这距离又可以定义 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中点列的收敛性和 $m$ 元函数的连续性. 这样定义的收敛性和连续性称为按照范数 $N$ 的 (或者说按照距离 ${d}_{N}$ 的)收敛性和连续性.
值得庆幸的是,对于 ${\mathbb{R}}^{m}$ 来说,用任何一种范数决定的收敛性 (以及函数的连续性), 都是完全一样的. 为说明这一点, 先要介绍等价范数的概念.
定义 2 设 $M$ 和 $N$ 都是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 的范数. 如果存在正实数 $a$ 和 $A$ ,使得
$$ {aM}\left( x\right) \leq N\left( x\right) \leq {AM}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, $$
那么我们就说范数 $N$ 与范数 $M$ 等价.
注记 范数的等价是一种具有反身性, 对称性和传递性的关系:
(1)显然有
$$ M\left( x\right) \leq M\left( x\right) \leq M\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, $$
因而 $M$ 与 $M$ 自身是等价的 (反身性).
(2)如果范数 $N$ 与范数 $M$ 等价
$$ {aM}\left( x\right) \leq N\left( x\right) \leq {AM}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, $$
那么显然有
$$ \frac{1}{A}N\left( x\right) \leq M\left( x\right) \leq \frac{1}{a}N\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, $$
即范数 $M$ 也与范数 $N$ 等价. 这说明范数的等价具有对称性.
(3)如果范数 $N$ 与范数 $M$ 等价,范数 $P$ 与范数 $N$ 等价
$$ {aM}\left( x\right) \leq N\left( x\right) \leq {AM}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, $$
$$ {bN}\left( x\right) \leq P\left( x\right) \leq {BN}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, $$
那么
$$ \operatorname{baM}\left( x\right) \leq P\left( x\right) \leq {BAM}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}, $$
即范数 $P$ 与范数 $M$ 等价. 这说明范数的等价具有传递性.
按照数学中的惯例, 只有那些具有反身性, 对称性和传递性的关系, 才被冠以 “等价”这样的称呼.
定理 1 按照等价的范数 $N$ 和 $M$ 决定的收敛性 (及连续性) 是完全一样的.
💡 答案与解析
证明 设有
$$ {aM}\left( x\right) \leq N\left( x\right) \leq {AM}\left( x\right) ,\;\forall x \in {\mathbb{R}}^{m}. $$
如果 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的点列,它按照范数 $M$ 收敛于 ${x}_{0}$ ,即
$$ \lim M\left( {{x}_{n} - {x}_{0}}\right) = 0, $$
那么从不等式
$$ N\left( {{x}_{n} - {x}_{0}}\right) \leq {AM}\left( {{x}_{n} - {x}_{0}}\right) $$
可以得到
$$ \lim N\left( {{x}_{n} - {x}_{0}}\right) = 0, $$
即点列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 按照范数 $N$ 也收敛于 ${x}_{0}$ . 在上面的讨论中, $M$ 和 $N$ 的地位可以互相交换 (对称性). 因而, 按两种范数定义的收敛性是完全一样的.
函数在一点的连续性可以通过序列方式来定义. 既然按照两种范数定义的点列的收敛性是完全一样的, 那么按这两种范数定义的函数的连续性也必定是完全一样的.
定理 2 空间 ${\mathbb{R}}^{m}$ 的任意两个范数都互相等价.
证明 只须证明 ${\mathbb{R}}^{m}$ 的任何范数 $N$ 都与欧氏范数 $\parallel \cdot \parallel$ 等价.
首先,我们指出, ${\mathbb{R}}^{m}$ 的任何范数 $N\left( x\right)$ ,都是按照范数 $\parallel \cdot \parallel$ 连续的函数. 为说明这一事实,我们考察 ${\mathbb{R}}^{m}$ 的基向量
$$ {e}_{1} = \left( {1,0,\cdots ,0}\right) , $$
$$ {e}_{2} = \left( {0,1,\cdots ,0}\right) , $$
......
$$ {e}_{m} = \left( {0,0,\cdots ,1}\right) , $$
并把 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的任意点 ${x}_{0}$ 和 $x$ 表示为:
$$ {x}_{0} = \left( {{x}_{0}^{1},{x}_{0}^{2},\cdots ,{x}_{0}^{m}}\right) $$
$$ = {x}_{0}^{1}{e}_{1} + {x}_{0}^{2}{e}_{2} + \cdots + {x}_{0}^{m}{e}_{m}, $$
$$ x = \left( {{x}^{1},{x}^{2},\cdots ,{x}^{m}}\right) $$
$$ = {x}^{1}{e}_{1} + {x}^{2}{e}_{2} + \cdots + {x}^{m}{e}_{m}. $$
由范数的条件 $\left( {N}_{3}\right)$ ,容易得到
$$ \left| {N\left( x\right) - N\left( {x}_{0}\right) }\right| \leq N\left( {x - {x}_{0}}\right) . $$
但
$$ x - {x}_{0} = \left( {{x}^{1} - {x}_{0}^{1}}\right) {e}_{1} + \cdots + \left( {{x}^{m} - {x}_{0}^{m}}\right) {e}_{m}, $$
根据范数的条件 $\left( {N}_{3}\right) ,\left( {N}_{2}\right)$ 和柯西不等式,又可得到
$$ N\left( {x - {x}_{0}}\right) \leq N\left( {\left( {{x}^{1} - {x}_{0}^{1}}\right) {e}_{1}}\right) + \cdots + N\left( {\left( {{x}^{m} - {x}_{0}^{m}}\right) {e}_{m}}\right) $$
$$ \leq \left| {{x}^{1} - {x}_{0}^{1}}\right| N\left( {e}_{1}\right) + \cdots + \left| {{x}^{m} - {x}_{0}^{m}}\right| N\left( {e}_{m}\right) $$
$$ \leq C\begin{Vmatrix}{x - {x}_{0}}\end{Vmatrix}, $$
这里
$$ C = \sqrt{\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{\left( N\left( {e}_{i}\right) \right) }^{2}}. $$
我们得到了不等式
$$ \left| {N\left( x\right) - N\left( {x}_{0}\right) }\right| \leq C\begin{Vmatrix}{x - {x}_{0}}\end{Vmatrix}. $$
由此即可证明函数 $N\left( x\right)$ 按照范数 $\parallel \cdot \parallel$ 的连续性.
其次, 我们指出, 集合
$$ K = \left\{ {\xi \in {\mathbb{R}}^{m} \mid \parallel \xi \parallel = 1}\right\} $$
是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 中的有界闭集 (读者自证). 于是,连续函数 $N\left( x\right)$ 在 $K$ 上取得最小值 $b$ 和最大值 $B$ . 根据范数的条件 $\left( {N}_{1}\right)$ ,函数 $N\left( x\right)$ 在 $K$ 上恒大于 0,因而它在 $K$ 上的最小值 $b > 0$ . 我们得到
$$ 0 < b \leq N\left( \xi \right) \leq B,\;\forall \xi \in K. $$
对于任何 $x \in {\mathbb{R}}^{m}$ ,只要 $x \neq 0$ ,就有
$$ \frac{1}{\parallel x\parallel }x \in K $$
因而
$$ b \leq N\left( {\frac{1}{\parallel x\parallel }x}\right) \leq B, $$
$$ b \leq \frac{1}{\parallel x\parallel }N\left( x\right) \leq B. $$
由此得到
$$ b\parallel x\parallel \leq N\left( x\right) \leq B\parallel x\parallel . $$
这不等式对于 $x = 0$ 显然也成立,这就是说,对任何 $x \in {\mathbb{R}}^{m}$ ,都有
$$ b\parallel x\parallel \leq N\left( x\right) \leq B\parallel x\parallel . $$
这证明了范数 $N$ 与欧氏范数 $\parallel \cdot \parallel$ 等价.