📝 题目
例 4 设 $X$ 是 ${\mathbb{R}}^{m}$ 的非空闭子集. 用 ${\mathbb{R}}^{m}$ 的任何一种范数 $N$ 在 $X$ 上定义距离
$$ d\left( {x,y}\right) = N\left( {x - y}\right) ,\;\forall x,y \in X. $$
这样得到的距离空间(X, d)也是完备的.
定义 12 设(X, d)是距离空间, $\varphi : X \rightarrow X$ 是一个映射. 如果存在 $\alpha \in \lbrack 0,1)$ ,使得
$$ d\left( {\varphi \left( x\right) ,\varphi \left( y\right) }\right) \leq {\alpha d}\left( {x,y}\right) ,\;\forall x,y \in X, $$
那么我们就说 $\varphi$ 是一个压缩映射.
注记 显然压缩映射都是连续映射.
设 $X$ 是一个集合, $\varphi : X \rightarrow X$ 是一个映射. 如果 $\xi \in X$ 使得
$$ \varphi \left( \xi \right) = \xi , $$
那么我们就说 $\xi$ 是映射 $\varphi$ 的一个不动点.
下面的重要定理被称为压缩映射原理或者巴拿赫(Banach)不动点原理.
定理 5 完备距离空间(X, d)的压缩映射 $\varphi$ 必定有唯一的不动点.
💡 答案与解析
证明 先证明不动点的存在性. 任取 ${x}_{0} \in X$ ,按下式定义一个迭代序列
$$ {x}_{n + 1} = \varphi \left( {x}_{n}\right) ,\;n = 0,1,2,\cdots . $$
因为 $\varphi$ 是压缩映射,所以
$$ d\left( {{x}_{n + 1},{x}_{n}}\right) = d\left( {\varphi \left( {x}_{n}\right) ,\varphi \left( {x}_{n - 1}\right) }\right) $$
$$ \leq {\alpha d}\left( {{x}_{n},{x}_{n - 1}}\right) ,\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
于是得到
$$ d\left( {{x}_{n + 1},{x}_{n}}\right) \leq {\alpha d}\left( {{x}_{n},{x}_{n - 1}}\right) $$
$$ \leq {\alpha }^{2}d\left( {{x}_{n - 1},{x}_{n - 2}}\right) $$
..............
$$ \leq {\alpha }^{n}d\left( {{x}_{1},{x}_{0}}\right) \text{ . } $$
利用这一估计可以证明 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 是基本序列. 事实上,我们有
$$ d\left( {{x}_{n + p},{x}_{n}}\right) \leq d\left( {{x}_{n + p},{x}_{n + p - 1}}\right) + \cdots + d\left( {{x}_{n + 1},{x}_{n}}\right) $$
$$ \leq \left( {{\alpha }^{n + p - 1} + \cdots + {\alpha }^{n}}\right) d\left( {{x}_{1},{x}_{0}}\right) $$
$$ \leq \frac{{\alpha }^{n}}{1 - \alpha }d\left( {{x}_{1},{x}_{0}}\right) . $$
因为 $\alpha \in \lbrack 0,1),\lim \frac{{\alpha }^{n}}{1 - \alpha }d\left( {{x}_{1},{x}_{0}}\right) = 0$ ,所以对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得只要 $n > N$ ,就有
$$ \frac{{\alpha }^{n}}{1 - \alpha }d\left( {{x}_{1},{x}_{0}}\right) < \varepsilon . $$
这证明了 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 是基本序列. 从空间(X, d)的完备性可知,点列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 是收敛的. 设
$$ \lim {x}_{n} = \xi \text{ . } $$
对等式
$$ {x}_{n + 1} = \varphi \left( {x}_{n}\right) $$
取极限,利用 $\varphi$ 的连续性就得到
$$ \xi = \varphi \left( \xi \right) . $$
再来证明不动点的唯一性. 假设另有 ${\xi }^{\prime } \in X$ 也使得
$$ {\xi }^{\prime } = \varphi \left( {\xi }^{\prime }\right) , $$
则有
$$ 0 \leq d\left( {{\xi }^{\prime },\xi }\right) = d\left( {\varphi \left( {\xi }^{\prime }\right) ,\varphi \left( \xi \right) }\right) \leq {\alpha d}\left( {{\xi }^{\prime },\xi }\right) . $$
但 $0 \leq \alpha < 1$ ,要使上式成立,只能有
$$ d\left( {{\xi }^{\prime },\xi }\right) = 0, $$
即 ${\xi }^{\prime } = \xi$ . 这证明了不动点的唯一性.
注记 压缩映射的定义即保证了它的不动点不能多于一个. 在上面定理唯一性部分的证明中, 并未用到空间完备性的条件. 但为了保证不动点的存在性, 空间完备这一条件却不能取消. 请看下面的反例: