📝 题目
例 3 设 $\Delta$ 是 ${OXY}$ 平面上由直线
$$ y = a,\;y = x\text{ 和 }x = b, $$
所围成的闭区域 $\left( {a < b}\right)$ . 又设 $f\left( {x,y}\right)$ 是在 $\Delta$ 上有定义并且连续的一个函数. 试证
$$ {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}x{\int }_{a}^{x}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}y{\int }_{y}^{b}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x. $$
💡 答案与解析
证明 用两种办法把重积分
$$ {\iint }_{\Delta }f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) $$
化为累次积分 (参看定理 2 ), 就得到要证的结果.