📝 题目
解 如果采取先对 $y$ 积分再对 $x$ 积分的方案,那么就会遇到不好计算的内层积分:
$$ I = {\int }_{0}^{1}\left( {{x}^{2}{\int }_{x}^{1}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}y}\right) \mathrm{d}x, $$
这里的 $\displaystyle{\int }_{x}^{1}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}y}$ 不好计算. 如果先对 $x$ 积分,再对 $y$ 积分,就能够顺利地计算到底:
$$ I = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{y}{x}^{2}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}x $$
$$ = \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1}{y}^{3}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}y = \frac{1}{6} - \frac{1}{3\mathrm{e}}. $$
💡 答案与解析
解 如果采取先对 $y$ 积分再对 $x$ 积分的方案,那么就会遇到不好计算的内层积分:
$$ I = {\int }_{0}^{1}\left( {{x}^{2}{\int }_{x}^{1}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}y}\right) \mathrm{d}x, $$
这里的 $\displaystyle{\int }_{x}^{1}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}y}$ 不好计算. 如果先对 $x$ 积分,再对 $y$ 积分,就能够顺利地计算到底:
$$ I = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{y}{x}^{2}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}x $$
$$ = \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1}{y}^{3}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}y = \frac{1}{6} - \frac{1}{3\mathrm{e}}. $$