📝 题目
例 4 设 $D$ 是第一象限内由双曲线 ${xy} = a,{xy} = b$ 与直线 $y = {px},y = {qx}$ 围成的闭区域 $\left( {0 < a < b,0 < p < q}\right)$ ,试计算
(1) $D$ 的面积 $\sigma \left( D\right)$ ;
(2) $I = {\iint }_{D}\frac{y}{x}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right)$ ;
(3) $J = {\iint }_{D}x{y}^{3}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right)$ .
💡 答案与解析
解 闭区域 $D$ 的形状 (参看图 13-10) 提示我们采用变换
$$ \psi : \left\{ \begin{array}{l} u = {xy}, \\ v = \frac{y}{x}. \end{array}\right. $$
计算雅可比行列式得
$$ \frac{\partial \left( {u,v}\right) }{\partial \left( {x,y}\right) } = \left| \begin{matrix} y & x \\ - \frac{y}{{x}^{2}} & \frac{1}{x} \end{matrix}\right| = \frac{2y}{x} = {2v}, $$
$$ \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {u,v}\right) } = \frac{1}{2v}. $$
利用变元替换公式, 我们得到
$$ \sigma \left( D\right) = {\iint }_{D}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right) = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}u{\int }_{p}^{q}\frac{1}{2v}\mathrm{\;d}v $$
$$ = \frac{1}{2}\left( {b - a}\right) \ln \frac{q}{p}, $$
$$ I = {\iint }_{D}\frac{y}{x}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right) = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}u{\int }_{p}^{q}v \cdot \frac{1}{2v}\mathrm{\;d}v $$
$$ = \frac{1}{2}\left( {b - a}\right) \left( {q - p}\right) , $$
$$ J = {\iint }_{D}x{y}^{3}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right) $$
$$ = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}u{\int }_{p}^{q}{u}^{2}v \cdot \frac{1}{2v}\mathrm{\;d}v $$
$$ = \frac{1}{6}\left( {{b}^{3} - {a}^{3}}\right) \left( {q - p}\right) . $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/064.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 13-10
注记 利用变元替换计算面积的公式为
$$ \sigma \left( D\right) = {\iint }_{E}\left| \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {u,v}\right) }\right| \mathrm{d}u\mathrm{\;d}v. $$
我们把
$$ \left| \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {u,v}\right) }\right| \mathrm{d}u\mathrm{\;d}v $$
叫作曲线坐标下的面积元. 下面, 我们来说明它的几何意义.
首先指出这样一个简单事实: 以两向量
$$ {\mathbf{\alpha }}_{1} = \left( {{\xi }_{1},{\eta }_{1}}\right) \text{ 和 }{\mathbf{\alpha }}_{2} = \left( {{\xi }_{2},{\eta }_{2}}\right) $$
为相邻两边的平行四边形, 其面积为
$$ \left| {{\mathbf{\alpha }}_{1} \times {\mathbf{\alpha }}_{2}}\right| = \left| \begin{array}{ll} {\xi }_{1} & {\eta }_{1} \\ {\xi }_{2} & {\eta }_{2} \end{array}\right| $$
的绝对值. 其次,如果用平行于 ${OX}$ 轴和 ${OY}$ 轴的两族直线分割闭区域 $D$ ,那么边长为 ${\Delta x}$ 和 ${\Delta y}$ 的微小矩形的面积应为 ${\Delta x\Delta y}$ . 我们把
$$ \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = {\Delta x\Delta y} $$
叫作直角坐标系中的面积元.
现在, 假设我们用两族曲线
$$ u\left( {x,y}\right) = \text{ const }\;\text{ 和 }\;v\left( {x,y}\right) = \text{ const } $$
来分割闭区域 $D$ . 这里要求映射
$$ \psi : \left\{ \begin{array}{l} u = u\left( {x,y}\right) , \\ v = v\left( {x,y}\right) \end{array}\right. $$
在包含 $D$ 的一个开集 $V$ 上是连续可微的,并且满足以下条件
$\left( {1}^{\prime }\right) \det \mathrm{D}\psi \left( {x,y}\right) \neq 0,\forall \left( {x,y}\right) \in V$ ;
$\left( {2}^{\prime }\right) \psi$ 在 $V$ 中是单一的.
这样的两族曲线形成 $V$ 中的曲线坐标网. 我们来考察这曲线坐标网中一个微小的曲线四边形的面积 (参看图 13-11).
\begin{center} \includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/065.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 13-11
设这曲线四边形为以下四条曲线所围成
$$ u\left( {x,y}\right) = {u}_{0},\;u\left( {x,y}\right) = {u}_{0} + {\Delta u}, $$
$$ v\left( {x,y}\right) = {v}_{0},\;v\left( {x,y}\right) = {v}_{0} + {\Delta v}. $$
于是, 这曲线四边形的四个顶点分别为
$$ \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = \left( {x\left( {{u}_{0},{v}_{0}}\right) ,y\left( {{u}_{0},{v}_{0}}\right) }\right) , $$
$$ \left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) = \left( {x\left( {{u}_{0} + {\Delta u},{v}_{0}}\right) ,y\left( {{u}_{0} + {\Delta u},{v}_{0}}\right) ,}\right. $$
$$ \left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) = \left( {x\left( {{u}_{0},{v}_{0} + {\Delta v}}\right) ,y\left( {{u}_{0},{v}_{0} + {\Delta v}}\right) }\right) , $$
$$ \left( {{x}_{3},{y}_{3}}\right) = \left( {x\left( {{u}_{0} + {\Delta u},{v}_{0} + {\Delta v}}\right) ,y\left( {{u}_{0} + {\Delta u},{v}_{0} + {\Delta v}}\right) }\right) . $$
对于充分小的 ${\Delta u} > 0$ 和 ${\Delta v} > 0$ ,可以认为
$$ {x}_{1} - {x}_{0} \approx \frac{\partial x}{\partial u}{\Delta u},\;{y}_{1} - {y}_{0} \approx \frac{\partial y}{\partial u}{\Delta u}, $$
$$ {x}_{2} - {x}_{0} \approx \frac{\partial x}{\partial v}{\Delta v},\;{y}_{2} - {y}_{0} \approx \frac{\partial y}{\partial v}{\Delta v}. $$
我们可以把这微小的曲线四边形近似地看作一个平行四边形(参看
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/066.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 13-12
图 13-12), 它以向量
$$ \mathbf{a} = \left( {\frac{\partial x}{\partial u}{\Delta u},\frac{\partial y}{\partial u}{\Delta u}}\right) $$
和
$$ \mathbf{b} = \left( {\frac{\partial x}{\partial v}{\Delta v},\frac{\partial y}{\partial v}{\Delta v}}\right) $$
为相邻两边. 这平行四边形的面积为
$$ \left| {\mathbf{a} \times \mathbf{b}}\right| = \left| \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {u,v}\right) }\right| {\Delta u\Delta v}. $$
我们看到:
$$ \left| \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {u,v}\right) }\right| \mathrm{d}u\mathrm{\;d}v = \left| \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {u,v}\right) }\right| {\Delta u\Delta v} $$
近似地表示了曲线坐标网中一个微小的曲线四边形的面积, 正是因为这个缘故, 人们把它叫作曲线坐标下的面积元.