📝 题目
例 6 设二元函数 $f$ 在闭区域 $D$ 连续. 对以下情形 (1) 和 (2), 试用极坐标变换把
$$ I = {\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) $$
化为累次积分, 其中
(1) $D = \left\{ {\left( {x,y}\right) \mid {a}^{2} \leq {x}^{2} + {y}^{2} \leq {b}^{2}}\right\}$ ;
(2) $D = \left\{ {\left( {x,y}\right) \mid {x}^{2} + {y}^{2} \leq {2ax}}\right\}$ .
💡 答案与解析
解(1)做通常的极坐标变换就可得到
$$ {\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) = {\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{a}^{b}f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta }\right) r\mathrm{\;d}r $$
(2)以(a,0)为极点,做极坐标变换
$$ \left\{ \begin{array}{l} x = a + r\cos \theta , \\ y = r\sin \theta , \end{array}\right. $$
我们得到
$$ {\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) = {\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{a}f\left( {a + r\cos \theta ,r\sin \theta }\right) r\mathrm{\;d}r. $$