📝 题目
例 9 试计算积分
$$ I = {\iint }_{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} \leq 1}\sqrt{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}}\mathrm{d}\left( {x,y}\right) . $$
💡 答案与解析
解 先做变换
$$ x = {au},\;y = {bv}, $$
我们得到
$$ I = {ab}{\iint }_{{u}^{2} + {v}^{2} \leq 1}\sqrt{{u}^{2} + {v}^{2}}\mathrm{\;d}\left( {u,v}\right) . $$
再做极坐标变换就得到
$$ I = {ab}{\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{1}{r}^{2}\mathrm{\;d}r = \frac{2\pi }{3}{ab}. $$
其实, 我们可以把两个变换合起来, 从一开始就令
$$ x = {ar}\cos \theta ,\;y = {br}\sin \theta . $$
这样的变换被称为广义极坐标变换(或者:椭圆坐标变换),其雅可比行列式为
$$ \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {r,\theta }\right) } = \left| \begin{array}{rr} a\cos \theta & - {ar}\sin \theta \\ b\sin \theta & {br}\cos \theta \end{array}\right| = {abr}. $$