📝 题目
例 10 计算三重积分
$$ I = {\iiint }_{D}\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}\mathrm{\;d}\left( {x,y,z}\right) , $$
其中的 $D$ 是由锥面 ${x}^{2} + {y}^{2} = {z}^{2}$ 与平面 $z = 1$ 围成的锥体 (图 13-18).
\begin{center} ![](\"/static/img/math_analysis/071.jpg\")
\end{center} \hspace*{3em}
图 13-18
💡 答案与解析
解 采用柱坐标变换, 我们得到
$$ I = {\int }_{0}^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}r{\int }_{r}^{1}{r}^{2}\mathrm{\;d}z $$
$$ = {2\pi }{\int }_{0}^{1}\left( {{r}^{2} - {r}^{3}}\right) \mathrm{d}r $$
$$ = \frac{\pi }{6}\text{ . } $$