📝 题目
例 16 把以下重积分化为单积分:
$$ I = {\int }_{{B}_{n}\left( a\right) }f\left( \sqrt{{x}_{1}^{2} + \cdots + {x}_{n}^{2}}\right) \mathrm{d}\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) , $$
这里设
$$ {B}_{n}\left( a\right) = \left\{ {\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) \mid {x}_{1}^{2} + \cdots + {x}_{n}^{2} \leq {a}^{2}}\right\} , $$
并设 (一元) 函数 $f$ 在闭区间 $\left\lbrack {0,a}\right\rbrack$ 连续.
💡 答案与解析
解 做球坐标变换, 我们得到
$$ I = {\int }_{0}^{a}\mathrm{\;d}r{\int }_{S}f\left( r\right) \left| {{J}_{n}\left( {r,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta , $$
这里 $S$ 是满足以下条件的 $\theta = \left( {{\theta }_{1},\cdots ,{\theta }_{n - 1}}\right)$ 的集合:
$$ 0 \leq {\theta }_{1} \leq {2\pi }, $$
$$ - \frac{\pi }{2} \leq {\theta }_{2},\cdots ,{\theta }_{n - 1} \leq \frac{\pi }{2}; $$
而 ${J}_{n}\left( {r,\theta }\right)$ 是球坐标变换的雅可比行列式:
$$ {J}_{n}\left( {r,\theta }\right) = {r}^{n - 1}{\cos }^{n - 2}{\theta }_{n - 1}{\cos }^{n - 3}{\theta }_{n - 2}\cdots \cos {\theta }_{2}. $$
显然有
$$ {J}_{n}\left( {r,\theta }\right) = {r}^{n - 1}{J}_{n}\left( {1,\theta }\right) . $$
由此可得
$$ I = {\int }_{0}^{a}\mathrm{\;d}r{\int }_{S}f\left( r\right) \left| {{J}_{n}\left( {r,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta $$
$$ = {\int }_{0}^{a}f\left( r\right) {r}^{n - 1}\mathrm{\;d}r{\int }_{S}\left| {{J}_{n}\left( {1,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta . $$
下面,我们设法计算积分
$$ {\int }_{S}\left| {{J}_{n}\left( {1,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta . $$
用等于 1 的式子
$$ n{\int }_{0}^{1}{r}^{n - 1}\mathrm{\;d}r $$
与之相乘就得到:
$$ {\int }_{S}\left| {{J}_{n}\left( {1,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta $$
$$ = n{\int }_{0}^{1}{r}^{n - 1}\mathrm{\;d}r{\int }_{\mathrm{S}}\left| {{J}_{n}\left( {1,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta $$
$$ = n{\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}r{\int }_{S}\left| {{J}_{n}\left( {r,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta $$
$$ = n{\int }_{{B}_{n}\left( 1\right) }\mathrm{d}x $$
$$ = n{V}_{n}\left( 1\right) , $$
这里 ${V}_{n}\left( 1\right)$ 是 $n$ 维单位球体的体积. 利用这些结果,我们得到:
$$ I = {\int }_{0}^{a}\mathrm{\;d}r{\int }_{S}f\left( r\right) \left| {{J}_{n}\left( {r,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta $$
$$ = {\int }_{0}^{a}f\left( r\right) {r}^{n - 1}\mathrm{\;d}r{\int }_{S}\left| {{J}_{n}\left( {1,\theta }\right) }\right| \mathrm{d}\theta $$
$$ = n{V}_{n}\left( 1\right) {\int }_{0}^{a}f\left( r\right) {r}^{n - 1}\mathrm{\;d}r. $$
在