📝 题目
例 2 某段曲线为直线段的充要条件是: 在这段曲线上曲率处处为 0 , 即
$$ k \equiv 0\text{ . } $$
💡 答案与解析
证明 如果某段曲线为直线段, 那么这段曲线以弧长为参数的方程可以写成
$$ r = {r}_{0} + {se},\;s \in I. $$
这里 $\mathbf{e}$ 是长度为 1 的常向量. 将上面的方程微分两次就得到
$$ \ddot{r} \equiv 0\text{ . } $$
因而
$$ k\left( s\right) = \parallel \ddot{\mathbf{r}}\left( s\right) \parallel = 0,\;\forall s \in I. $$
这证明了条件的必要性.
再来证明条件的充分性. 假设
$$ k\left( s\right) = \parallel \ddot{\mathbf{r}}\left( s\right) \parallel = 0,\;\forall s \in I, $$
则有
$$ \ddot{\mathbf{r}}\left( s\right) = \mathbf{0},\;\forall s \in I. $$
于是
$$ \dot{\mathbf{r}}\left( s\right) = \mathbf{e}\;\text{ (常向量). } $$
由此又得到
$$ \mathbf{r}\left( s\right) = {\mathbf{r}}_{0} + s\mathbf{e},\;s \in I. $$
这证明了条件的充分性.