📝 题目
例 6 试计算积分
$$ L = {\iint }_{S}{z}^{2}\mathrm{\;d}\sigma , $$
其中 $S$ 是球面 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}$ .
💡 答案与解析
解 引入球面的参数表示当然可以进行计算(请读者自己练习),但利用对称性可以几乎不进行计算直接得出结果. 事实上, 我们有
$$ {\iint }_{S}{x}^{2}\mathrm{\;d}\sigma = {\iint }_{S}{y}^{2}\mathrm{\;d}\sigma = {\iint }_{S}{z}^{2}\mathrm{\;d}\sigma , $$
所以
$$ L = \frac{1}{3}{\iint }_{S}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\sigma $$
$$ = \frac{1}{3}{\iint }_{S}{a}^{2}\mathrm{\;d}\sigma = \frac{4}{3}\pi {a}^{4}. $$