📝 题目
例 2 试计算
$$ I = \frac{1}{2}{\oint }_{C}x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x, $$
$$ J = \frac{1}{2}{\oint }_{E}x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x, $$
这里 $C$ 是 ${OXY}$ 平面上中心在原点半径为 $a$ 的圆周, $E$ 是以 ${OX}$ 轴和 ${OY}$ 轴为对称轴并且两半轴长度分别为 $a$ 和 $b$ 的椭圆周.
💡 答案与解析
解 我们写出 $C$ 的参数方程
$$ \left\{ {\begin{array}{l} x = a\cos t, \\ y = a\sin t, \end{array}\;t \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack .}\right. $$
用上面定理中的公式进行计算得
$$ I = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }\left\lbrack {a\cos t\left( {a\cos t}\right) - a\sin t\left( {-a\sin t}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}t $$
$$ = \pi {a}^{2}\text{ . } $$
同样可得
$$ J = {\pi ab}. $$
在