📝 题目
例 5 试计算
$$ N = {\int }_{H}x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y + z\mathrm{\;d}z, $$
这里 $H$ 是 $k$ 圈螺旋线:
$$ x = a\cos t,y = a\sin t,z = {bt}, $$
$$ 0 \leq t \leq {2k\pi } $$
💡 答案与解析
解 我们有
$$ N = {\int }_{0}^{2k\pi }\lbrack a\cos t \cdot \left( {-a\sin t}\right) $$
$$ \left. {+a\sin t \cdot \left( {a\cos t}\right) + {b}^{2}t}\right\rbrack \mathrm{d}t $$
$$ = {2k\pi }{b}^{2}\text{ . } $$