📝 题目
例 4 试计算积分
$$ I = \frac{1}{3}{\iint }_{S}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y, $$
这里 $S$ 是球面 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}$ 的外侧.
💡 答案与解析
解 球面 $S$ 的外法线单位向量表示为
$$ \mathbf{n} = \left( {\frac{x}{a},\frac{y}{a},\frac{z}{a}}\right) . $$
因而
$$ I = \frac{1}{3}{\iint }_{S}\left( {x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma }\right) \mathrm{d}\sigma $$
$$ = \frac{1}{3}{\iint }_{S}\frac{{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}{a}\mathrm{\;d}\sigma $$
$$ = \frac{a}{3}{\iint }_{S}\mathrm{\;d}\sigma = \frac{4}{3}\pi {a}^{3}. $$