📝 题目
例 6 试计算积分
$$ K = \frac{1}{3}{\iint }_{\Lambda }x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y, $$
这里 $\Lambda$ 是以下椭球面的外侧:
$$ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}} = 1 $$
💡 答案与解析
解 我们引入椭球面 $\Lambda$ 的参数表示:
$$ \mathbf{r} = \left( {a\cos \theta \cos \varphi ,b\sin \theta \cos \varphi ,c\sin \varphi }\right) , $$
$$ \left( {\theta ,\varphi }\right) \in D = \left\{ {0 \leq \theta \leq {2\pi }, - \frac{\pi }{2} \leq \varphi \leq \frac{\pi }{2}}\right\} . $$
计算得
$$ {\mathbf{r}}_{\theta } = \left( {-a\sin \theta \cos \varphi ,b\cos \theta \cos \varphi ,0}\right) , $$
$$ {\mathbf{r}}_{\varphi } = \left( {-a\cos \theta \sin \varphi , - b\sin \theta \sin \varphi ,c\cos \varphi }\right) , $$
$$ {\mathbf{r}}_{\theta } \times {\mathbf{r}}_{\varphi } = \left( {{bc}\cos \theta {\cos }^{2}\varphi ,{ac}\sin \theta {\cos }^{2}\varphi ,{ab}\cos \varphi \sin \varphi }\right) , $$
$$ A = {bc}\cos \theta {\cos }^{2}\varphi , $$
$$ B = {ac}\sin \theta {\cos }^{2}\varphi , $$
$$ C = {ab}\cos \varphi \sin \varphi . $$
于是有
$$ K = \frac{1}{3}{\iint }_{D}{abc}\left( {{\cos }^{2}\theta {\cos }^{3}\varphi + {\sin }^{2}\theta {\cos }^{3}\varphi + \cos \varphi {\sin }^{2}\varphi }\right) \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi $$
$$ = \frac{1}{3}{abc}{\iint }_{D}\cos \varphi \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi $$
$$ = \frac{4}{3}{\pi abc}. $$
在上面几例中, 我们看到, 积分
$$ \frac{1}{3}{\iint }_{S}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y $$
正好等于闭曲面 $S$ 所围的体积. 这实际上是一个普遍成立的事实. 我们将在后面给予证明.