📝 题目
例 10 设 $\Delta$ 是以 $\left( {1,0,0}\right) ,\left( {0,1,0}\right)$ 和(0,0,1)为顶点的三角形面的上侧, 试计算
$$ I = {\iint }_{\Delta }x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y, $$
$$ J = {\iint }_{\Delta }{x}^{2}\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + {y}^{2}\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + {z}^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y. $$
💡 答案与解析
解 曲面 $\Delta$ 可以用显式方程表示为
$$ z = 1 - x - y,\;\left( {x,y}\right) \in D, $$
这里
$$ D = \{ \left( {x,y}\right) \mid x,y \geq 0,x + y \leq 1\} . $$
计算偏导数得
$$ p = \frac{\partial z}{\partial x} = - 1, $$
$$ q = \frac{\partial z}{\partial y} = - 1 $$
于是得到
$$ I = {\iint }_{D}\left\lbrack {-{xp} - {yq} + \left( {1 - x - y}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y $$
$$ = {\iint }_{D}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y = \frac{1}{2}. $$
用同样办法可以计算 $J$ :
$$ J = {\iint }_{D}\left\lbrack {{x}^{2} + {y}^{2} + {\left( 1 - x - y\right) }^{2}}\right\rbrack \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y $$
$$ = \frac{1}{4}\text{ . } $$