📝 题目
例 1 设 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^{2}$ 中由一条或几条分段连续可微曲线围成的闭
区域. 试说明 $\Omega$ 的面积 $\sigma \left( \Omega \right)$ 可按以下各式计算:
$$ \sigma \left( \Omega \right) = {\oint }_{\mathrm{a}\Omega }x\mathrm{\;d}y = - {\oint }_{\mathrm{a}\Omega }y\mathrm{\;d}x $$
$$ = \frac{1}{2}{\oint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x. $$
💡 答案与解析
解 根据格林公式, 我们有
$$ {\oint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y = {\iint }_{\Omega }\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y = \sigma \left( \Omega \right) , $$
$$ - {\oint }_{\partial \Omega }y\mathrm{\;d}x = {\iint }_{\Omega }\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y = \sigma \left( \Omega \right) , $$
$$ \frac{1}{2}{\oint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x = \frac{1}{2}{\iint }_{\Omega }\left( {1 + 1}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = \sigma \left( \Omega \right) . $$