📝 题目
例 3 试用例 2 中的公式计算椭圆面积.
💡 答案与解析
解 椭圆的参数方程为
$$ x = a\cos t,\;y = b\sin t,\;0 \leq t \leq {2\pi }. $$
利用这参数表示计算第二型曲线积分得
$$ \sigma \left( \Omega \right) = \frac{1}{2}{\oint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x $$
$$ = \frac{1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }\left( {{ab}{\cos }^{2}t + {ab}{\sin }^{2}t}\right) \mathrm{d}t $$
$$ = {\pi ab}\text{ . } $$