📝 题目
例 5 试计算
$$ {W}_{C} = {\oint }_{C}\frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}}, $$
$$ {W}_{E} = {\oint }_{E}\frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}}, $$
$$ {W}_{\Gamma } = {\oint }_{\Gamma }\frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}}, $$
这里 $C$ 是圆周 ${x}^{2} + {y}^{2} = {r}^{2},E$ 是椭圆周 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1,\Gamma$ 是环绕原点的任意连续可微的简单闭曲线——这些曲线都根据它们所围的有界区域来诱导定向.
💡 答案与解析
解 利用圆的参数方程进行计算, 很容易求得
$$ {W}_{C} = {\int }_{0}^{2\pi }\frac{{r}^{2}{\cos }^{2}t + {r}^{2}{\sin }^{2}t}{{r}^{2}{\cos }^{2}t + {r}^{2}{\sin }^{2}t}\mathrm{\;d}t = {2\pi }. $$
第二个积分的直接计算比较麻烦,我们将采用间接方法计算. 选取半径充分小的圆周 $C$ ,使得这圆周完全包含在 $E$ 的内部. 把 $C$ 与 $E$ 之间的闭环状区域记为 $\Omega$ . 在这环状区域中,函数
$$ P = - \frac{y}{{x}^{2} + {y}^{2}}\text{ 和 }Q = \frac{x}{{x}^{2} + {y}^{2}} $$
都是连续可微的, 并且
$$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{{y}^{2} - {x}^{2}}{{\left( {x}^{2} + {y}^{2}\right) }^{2}} = \frac{\partial P}{\partial y}. $$
因而
$$ {\int }_{\partial \Omega }P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y = {\iint }_{\Omega }\left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = 0. $$
由此得到
$$ {W}_{E} = {W}_{C} = {2\pi }. $$
用同样的办法可以求得
$$ {W}_{\Gamma } = {2\pi }. $$
这结果似乎有些使人感到惊奇. 其实, 我们可以把被积表达式写成
$$ \frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}} = \operatorname{darctan}\frac{y}{x} = \mathrm{d}\theta , $$
这里 $\theta$ 是点(x, y)的辐角. 不管沿怎样的连续可微简单闭曲线 $\Gamma$ 绕原点一周,积分 ${W}_{\Gamma }$ 的值都应等于辐角的增量 ${2\pi }$ .