📝 题目
例 6 试计算积分
$$ {W}_{\Gamma } = {\oint }_{\Gamma }\frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}}, $$
这里 $\Gamma$ 是不围绕原点的连续可微简单闭曲线,并且依据它所围的有界区域诱导定向.
💡 答案与解析
解 把 $\Gamma$ 所围绕的有界闭区域记为 $\Omega$ . 因为 $\Omega$ 不含原点,所以函数
$$ P = - \frac{y}{{x}^{2} + {y}^{2}},\;Q = \frac{x}{{x}^{2} + {y}^{2}} $$
都在 $\Omega$ 连续可微,并且有
$$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{{y}^{2} - {x}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2}} = \frac{\partial P}{\partial y}, $$
因而
$$ {W}_{\Gamma } = {\oint }_{\partial \Omega }P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y = 0. $$