📝 题目
例 7 设 $\Omega$ 满足定理 2 中的条件,试说明 $\Omega$ 的体积可按以下任一式计算:
$$ V\left( \Omega \right) = {\oiint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y \land \mathrm{d}z = {\oiint }_{\partial \Omega }y\mathrm{\;d}z \land \mathrm{d}x $$
$$ = {\oiint }_{\partial \Omega }z\mathrm{\;d}x \land \mathrm{d}y $$
$$ = \frac{1}{3}{\oiint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y. $$
💡 答案与解析
解 利用高斯公式就得到
$$ {\oiint }_{\partial \Omega }x\mathrm{\;d}y \land \mathrm{d}z = {\iiint }_{\Omega }\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z = V\left( \Omega \right) . $$
其余几式可以类似地证明.