📝 题目
例 3 考察 ${\mathbb{R}}^{n}$ 中的 $n$ 个 1 次形式
$$ {\omega }^{j} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}^{j}\left( x\right) \mathrm{d}{x}^{i},\;j = 1,2,\cdots ,n. $$
试证明
$$ {\omega }^{1} \land \cdots \land {\omega }^{n} = \det \left( {{a}_{i}^{j}\left( x\right) }\right) \mathrm{d}{x}^{1} \land \cdots \land \mathrm{d}{x}^{n}. $$
💡 答案与解析
证明 根据定义应有
$$ {\omega }^{1} \land \cdots \land {\omega }^{n} $$
$$ = \left( {\mathop{\sum }\limits_{{i}_{1}}{a}_{{i}_{1}}^{1}\left( x\right) \mathrm{d}{x}^{{i}_{1}}}\right) \land \cdots \land \left( {\mathop{\sum }\limits_{{i}_{n}}{a}_{{i}_{n}}^{n}\left( x\right) \mathrm{d}{x}^{{i}_{n}}}\right) $$
$$ = \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1},\cdots ,{i}_{n}}}{a}_{{i}_{1}}^{1}\left( x\right) \cdots {a}_{{i}_{n}}^{n}\left( x\right) \mathrm{d}{x}^{{i}_{1}} \land \cdots \land \mathrm{d}{x}^{{i}_{n}}. $$
为了整理上面的表示式, 我们引入记号
$$ {\varepsilon }^{{i}_{1}\cdots {i}_{n}} = \begin{cases} 0, & \text{ 如果 }{i}_{1},\cdots ,{i}_{n}\text{ 当中有相同的数字; } \\ - 1, & \text{ 如果 }{i}_{1},\cdots ,{i}_{n}\text{ 是数字 }1,\cdots ,n\text{ 的奇排列; } \\ 1, & \text{ 如果 }{i}_{1},\cdots ,{i}_{n}\text{ 是数字 }1,\cdots ,n\text{ 的偶排列. } \end{cases} $$
利用这记号,可以把 $\mathrm{d}{x}^{{i}_{1}} \land \cdots \land \mathrm{d}{x}^{{i}_{n}}$ 表示为
$$ {\varepsilon }^{{i}_{1}\cdots {i}_{n}}\mathrm{\;d}{x}^{1} \land \cdots \land \mathrm{d}{x}^{n}. $$
这样, 我们得到
$$ {\omega }^{1} \land \cdots \land {\omega }^{n} $$
$$ = \left( {\mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1},\cdots ,{i}_{n}}}{\varepsilon }^{{i}_{1}\cdots {i}_{n}}{a}_{{i}_{1}}^{1}\left( x\right) \cdots {a}_{{i}_{n}}^{n}\left( x\right) }\right) \mathrm{d}{x}^{1} \land \cdots \land \mathrm{d}{x}^{n}. $$
也就是
$$ {\omega }^{1} \land \cdots \land {\omega }^{n} = \det \left( {{a}_{i}^{j}\left( x\right) }\right) \mathrm{d}{x}^{1} \land \cdots \land \mathrm{d}{x}^{n}. $$