📝 题目
例 2 在力学或电学中, 常常需要考察与距离平方成反比的中心力场 (例如万有引力场或电场). 这样的力场可以表示为
$$ \mathbf{F}\left( {x,y,z}\right) = - q\frac{\mathbf{r}}{{r}^{3}}, $$
这里
$$ r = \parallel \mathbf{r}\parallel = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}. $$
设有单位质量的质点或单位电量的点电荷沿路径 $\Gamma$ 移动,则力场 $\mathbf{F}$ 对它所做的功可以表示为以下的第二型曲线积分
$$ {\int }_{\Gamma }\mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = - q{\int }_{\Gamma }\frac{x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y + z\mathrm{\;d}z}{{r}^{3}}. $$
因为微分式
$$ - q\frac{x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y + z\mathrm{\;d}z}{{r}^{3}} $$
有原函数
$$ U\left( {x,y,z}\right) = \frac{q}{r}, $$
所以在这样的力场中, 功与路径无关.
对于一类比较简单的区域——星形区域, 曲线积分与路径无关的条件很容易讨论. 下面,先介绍 ${\mathbb{R}}^{3}$ 中星形区域的定义.
定义 2 设 $D$ 是 ${\mathbb{R}}^{3}$ 中的一个区域. 若存在 $D$ 中一点 $A$ ,使得对于任何 $M \in D$ ,直线段 $\overline{AM}$ 均完全包含在 $D$ 中,则称 $D$ 是关于 $A$ 点为星形的区域, 简称星形区域.
定理 4 设 $D$ 是 ${\mathbb{R}}^{3}$ 中的星形区域,函数 $P\left( {x,y,z}\right) ,Q\left( {x,y,z}\right)$ 和 $R\left( {x,y,z}\right)$ 在 $D$ 中连续可微,则以下三项陈述相互等价:
(1)第二型曲线积分
$$ \int P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z $$
在 $D$ 中与路径无关;
(2)微分式 $P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z$ 在区域 $D$ 中有原函数 $U(x,y$ , $z)$ ,即
$$ P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z = \mathrm{d}U; $$
(3)在 $D$ 中有
$$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y},\;\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}. $$
💡 答案与解析
证明 定理 3 已经对更一般的情形肯定了(1)与(2)的等价性. 这里只需对星形区域的情形证明 (2) 与 (3) 等价. 推理 “ (2) $\Rightarrow$ (3) ” 也不用星形区域的条件, 因而这部分结论对一般区域也能适用.
设函数 $U\left( {x,y,z}\right)$ 在 $D$ 中连续可微,并且使得
$$ P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z = \mathrm{d}U, $$
也就是
$$ P = \frac{\partial U}{\partial x},\;Q = \frac{\partial U}{\partial y},\;R = \frac{\partial U}{\partial z}. $$
因为 $P,Q$ 和 $R$ 是连续可微的,所以 $U$ 是二阶连续可微的. 因而有
$$ \frac{{\partial }^{2}U}{\partial x\partial y} = \frac{{\partial }^{2}U}{\partial y\partial x}. $$
这就是
$$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}. $$
同样可证
$$ \frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}. $$
下面证明 “ $\left( 3\right) \Rightarrow \left( 2\right)$ ”. 设 $D$ 是关于 $A$ 点为星形的区域. 对于 $D$ 中的任意点 $M\left( {x,y,z}\right)$ ,我们定义
$$ U\left( M\right) = {\int }_{\overline{AM}}P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z. $$
将证明 $U\left( {x,y,z}\right) = U\left( M\right)$ 是微分式
$$ P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z $$
的一个原函数. 为此,我们考察 $D$ 中的点 ${M}_{0}\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right)$ 和 $M\left( {{x}_{0} + }\right.$ $\left. {h,{y}_{0},{z}_{0}}\right)$ . 因为 $D$ 是区域, ${M}_{0}$ 的某个邻域包含在 $D$ 中,所以对充分小的 $h$ ,线段 $\overline{{M}_{0}M}$ 包含在 $D$ 中. 又由于 $D$ 关于 $A$ 点的星形性质,三角形面 $\bigtriangleup {AM}{M}_{0}$ 应完全包含在 $D$ 中 (图 16-18). 利用斯托克斯公式计算沿 $\bigtriangleup A{M}_{0}M$ 周界的曲线积分得到
$$ {\int }_{{AM}{M}_{0}A}P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z $$
$$ = {\iint }_{{\Delta AM}{M}_{0}}\left( {\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y $$
$$ + \left( {\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}}\right) \mathrm{d}y\mathrm{\;d}z $$
$$ + \left( {\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}}\right) \mathrm{d}z\mathrm{\;d}x $$
$$ = 0\text{ . } $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/099.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 16-18
由此可得
$$ {\int }_{\overline{AM}}P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z $$
$$ = \left( {{\int }_{\overline{A{M}_{0}}} + {\int }_{\overline{{M}_{0}M}}}\right) P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z, $$
也就是
$$ U\left( {{x}_{0} + h,{y}_{0},{z}_{0}}\right) $$
$$ = U\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right) + {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{0} + h}P\left( {x,{y}_{0},{z}_{0}}\right) \mathrm{d}x. $$
由此容易得知
$$ \frac{\partial U}{\partial x}\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right) = P\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right) . $$
因为 $\left( {{x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}}\right)$ 可以是 $D$ 中任意一点,我们已经证明了
$$ \frac{\partial U\left( {x,y,z}\right) }{\partial x} = P\left( {x,y,z}\right) . $$
同样可证
$$ \frac{\partial U\left( {x,y,z}\right) }{\partial y} = Q\left( {x,y,z}\right) , $$
$$ \frac{\partial U\left( {x,y,z}\right) }{\partial z} = R\left( {x,y,z}\right) . $$
这样,我们证明了, $U\left( {x,y,z}\right)$ 是微分式 $P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z$ 的一个原函数.
下面就空间区域情形介绍单连通的概念. 为了叙述方便, 我们尽可能将参数曲线的定义区间 “标准化”,即尽可能将区域 $G$ 中的参数曲线表示成这样的映射
$$ \gamma : I \rightarrow G, $$
其中的 $I = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 是标准区间. 显然定义于任意区间上的参数曲线都可以通过参数的适当线性变换化成上述形式.
定义 3 设 $G$ 是 ${\mathbb{R}}^{3}$ 中的一个区域.
(i) 如果 $A$ 和 $B$ 是 $G$ 中的点,
$$ \gamma : I \rightarrow G $$
是一个连续映射, 满足条件
$$ \gamma \left( 0\right) = A,\;\gamma \left( 1\right) = B, $$
那么我们就说 $\gamma$ 是 $G$ 中联结 $A$ 和 $B$ 的一条 (连续) 曲线. 对于 $B = A$ ,也就是
$$ \gamma \left( 0\right) = \gamma \left( 1\right) = A $$
的情形,我们说 $\gamma$ 是一条闭曲线.
(ii) 若 (i) 中的映射 $\gamma : I \rightarrow G$ 是连续可微的,则称 $\gamma$ 为连续可微曲线.
(iii) 若 (i) 中的映射 $\gamma : I \rightarrow G$ 是分段连续可微的,则称 $\gamma$ 为分段连续可微曲线.
注记 所谓映射 $\gamma : I \rightarrow G$ “分段连续可微”是指:
(a) 映射 $\gamma$ 本身是连续的;
(b) 存在区间 $I = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 的一个分割
$$ 0 = {t}_{0} < {t}_{1} < \cdots < {t}_{n} = 1, $$
使得 $\gamma$ 在 $\left( {{t}_{0},{t}_{1}}\right) \cup \left( {{t}_{1},{t}_{2}}\right) \cup \cdots \cup \left( {{t}_{n - 1},{t}_{n}}\right)$ 是连续可微的,在 ${t}_{0}$ 右侧可微,在 ${t}_{n}$ 左侧可微,并且在 ${t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n - 1}$ 各处既是左侧可微的又是右侧可微的.
我们还约定把分段连续可微曲线 $\gamma$ 上连续可微性质遭到破坏的点 $\gamma \left( {t}_{1}\right) ,\gamma \left( {t}_{2}\right) ,\cdots ,\gamma \left( {t}_{n - 1}\right)$ 叫作这曲线的例外点.
定义 4 设 $G$ 是 ${\mathbb{R}}^{3}$ 中的一个区域, $\gamma$ 是 $G$ 中一条连续可微的闭曲线,
$$ \gamma \left( 0\right) = \gamma \left( 1\right) = A. $$
如果存在连续可微映射
$$ H : I \times I \rightarrow G, $$
满足这样的条件
$$ H\left( {s,0}\right) = H\left( {s,1}\right) = A,\;\forall s \in I, $$
$$ \left. \begin{array}{l} H\left( {0,t}\right) = \gamma \left( t\right) \\ H\left( {1,t}\right) = A \end{array}\right\} ,\;\forall t \in I, $$
那么我们就说连续可微曲线 $\gamma$ 在区域 $G$ 中是零伦的.
注记 我们可以把上面定义中的 $H$ 看成是依赖于参数 $s \in I$ 的一族闭曲线
$$ {\gamma }_{s}\left( t\right) = H\left( {s,t}\right) . $$
当参数 $s$ 从 0 变到 1 时,闭曲线 $\gamma$ 就逐渐缩成点 $A$ . 因此,“零伦”的几何直观意义就是: 闭曲线 $\gamma$ 可以在 $G$ 中缩成一个点 (图16-19).
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/100.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 16-19
定义 5 设 $G$ 是 ${\mathbb{R}}^{3}$ 中的一个区域. 如果 $G$ 中任何一条连续可微的闭曲线在这区域中都是零伦的,那么我们就说 $G$ 是单连通的.