📝 题目
例 3 (a) 开球体是单连通的. (b) 开球体内部抠了一个球形小空洞之后, 剩下的部分仍然是单连通的. (c) 开球体上打了一个贯通的圆柱形孔洞之后, 剩下的像一粒穿了孔的珠子那样的区域就不再是单连通的了.
下面的定理讨论空间单连通区域里第二型曲线积分与路径无关的条件.
定理 5 设 $G$ 是 ${\mathbb{R}}^{3}$ 中的单连通区域, $P\left( {x,y,z}\right) ,Q\left( {x,y,z}\right)$ 和 $R\left( {x,y,z}\right)$ 是在 $G$ 中连续可微的函数,则以下四项陈述相互等价:
(1)沿 $G$ 中任何一条分段连续可微的闭曲线 $\gamma$ 都有
$$ {\oint }_{\gamma }P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z = 0; $$
(2)沿 $G$ 中任何两条有共同起点和共同终点的分段连续可微曲线 $\eta$ 和 $\zeta$ 有
$$ {\int }_{\eta }P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z = {\int }_{\xi }P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z, $$
即曲线积分
$$ \int P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z $$
在 $G$ 中与路径无关;
(3)微分式 $P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z$ 在 $G$ 中有原函数,即存在定义于 $G$ 上的连续可微函数 $U\left( {x,y,z}\right)$ ,使得
$$ P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z = \mathrm{d}U; $$
(4) 在 $G$ 中有
$$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y},\;\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial z}\;\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}. $$
我们将省略一些细节, 概要地介绍这定理的证明.
💡 答案与解析
证明的梗概 仿照前面的讨论,很容易证明 ${}^{u}\left( 1\right) \Rightarrow \left( 2\right) \Rightarrow \left( 3\right) \Rightarrow$ (4)”(这部分论证不用区域的单连通性质). 剩下来得较为困难的任务是对单连通区域的情形证明 “ $\left( 4\right) \Rightarrow \left( 1\right)$ ”.
首先指出,为了证明 “ $\left( 4\right) \Rightarrow \left( 1\right)$ ”,只需在条件 (4) 的前提下,证明对于 $G$ 中任何一条连续可微的闭曲线 $\gamma$ 都有
$$ {\oint }_{\gamma }P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z = 0. $$
对此,我们做如下的论证: 如果 $G$ 中的闭曲线 ${\gamma }_{0}$ 仅仅是分段连续可微的, $M$ 是 ${\gamma }_{0}$ 上的一个例外点 (即连续可微性质遭到破坏的点),那么可以在 $M$ 点两侧的曲线上分别选择对应于邻近参数值 ${t}^{\prime }$ 和 $t$ 的点 ${M}^{\prime }$ 和 ${M}^{\prime \prime }$ ,然后设法用一段连续可微曲线 $\overset{⏜}{{M}^{\prime }{M}^{\prime \prime }}$ 代替 ${\gamma }_{0}$ 的一段 $\overset{⏜}{{M}^{\prime }M{M}^{\prime \prime }}$ ,要求换上的一段在 ${M}^{\prime }$ 点和 ${M}^{\prime \prime }$ 点外的衔接是连续可微的 (具体做法在本段末的注记中予以说明). 用这样的办法依次消去所有的例外点之后,就得到一条连续可微的闭曲线 $\gamma$ . 所作的修改可以很细小,使得修改后的一段 $\overset{⏜}{{M}^{\prime }{M}^{\prime \prime }}$ 与原来的那一段 $\overset{⏜}{{M}^{\prime }M{M}^{\prime \prime }}$ 都在 $M$ 点的一个包含于 $G$ 内的 $\varepsilon$ 球形邻域之中. 球形邻域当然是星形的, 根据定理 4 就有
$$ {\int }_{\overset{⏜}{{M}^{\prime }M{M}^{\prime }}}P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z $$
$$ = {\int }_{\overset{⏜}{{M}^{\prime }{M}^{\prime \prime }}}P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z. $$
我们看到: 分段连续可微的闭曲线 ${\gamma }_{0}$ 可以修改成一条连续可微的闭曲线 $\gamma$ ,使得
$$ {\oint }_{{\gamma }_{0}}P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z $$
$$ = {\oint }_{\gamma }P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z. $$
如果能证明上式右边的积分等于 0 ,左边的积分自然也就等于 0 .
下面,我们就在条件 (4) 的前提下,证明沿 $G$ 中的任何连续可微的闭曲线 $\gamma$ 都有
$$ {\oint }_{\gamma }P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z = 0. $$
设 $\gamma \left( 0\right) = \gamma \left( 1\right) = A$ . 因为区域 $G$ 是单连通的,所以存在连续可微映射
$$ H : I \times I \rightarrow G, $$
使得
$$ H\left( {s,0}\right) = H\left( {s,1}\right) = A,\;\forall s \in I, $$
$$ \left. \begin{array}{l} H\left( {0,t}\right) = \gamma \left( t\right) \\ H\left( {1,t}\right) = A \end{array}\right\} ,\;\forall t \in I. $$
将 $H$ 的像集记为
$$ K = H\left( {I \times I}\right) . $$
显然 $K$ 是完全包含在 $G$ 中的一个紧致集. 于是,存在 $\varepsilon > 0$ ,使得到 $K$ 的距离不超过 $\varepsilon$ 的点全在 $G$ 中,即
$$ \left\{ {W \in {\mathbb{R}}^{3} \mid d\left( {W,K}\right) \leq \varepsilon }\right\} \subset G. $$
因为 $H$ 在 $I \times I$ 上是一致连续的,所以存在 $\delta > 0$ ,使得只要(s, t),
$\left( {{s}^{\prime },{t}^{\prime }}\right) \in I \times I,$
$$ \left| {s - {s}^{\prime }}\right| < \delta ,\;\left| {t - {t}^{\prime }}\right| < \delta , $$
就有
$$ d\left( {H\left( {s,t}\right) ,H\left( {{s}^{\prime },{t}^{\prime }}\right) }\right) < \varepsilon . $$
我们取足够大的自然数 $n$ ,使得
$$ \frac{1}{n} < \delta $$
用分界线
$$ s = \frac{j}{n},\;t = \frac{k}{n}, $$
$$ j,k = 1,2,\cdots ,n - 1, $$
将正方形 $I \times I$ 剖分成 $n \times n$ 个小方块
$$ {\Pi }_{jk} = \left\{ {\left( {s,t}\right) \left| {\;\frac{j - 1}{n} \leq s \leq \frac{j}{n}}\right. ,\frac{k - 1}{n} \leq t \leq \frac{k}{n}}\right\} , $$
$$ j,k = 1,2,\cdots ,n\text{ . } $$
我们还引入记号
$$ {M}_{jk} = H\left( {\frac{j}{n},\frac{k}{n}}\right) , $$
$$ j,k = 0,1,\cdots ,n. $$
自然有
$$ {M}_{j0} = {M}_{jn} = A,\;{M}_{nk} = A. $$
每个小方块 ${\Pi }_{jk}$ 的像集 $H\left( {\Pi }_{jk}\right)$ 都包含在点 ${M}_{jk}$ 的 $\varepsilon$ 球形邻域之中. 这些 $\varepsilon$ 球形邻域都是包含在 $G$ 内的星形区域. 根据定理 4,在每一个这样的 $\varepsilon$ 球内部曲线积分
$$ \int P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z $$
与路径无关. 我们可以逐次对路径 $\gamma$ 作细小的改变,使得每次变动均局限在一个 $\varepsilon$ 球之中以保证积分值不改变. 最后将路径缩到 $A$ 点的 $\varepsilon$ 球形邻域之中,从而证明积分值等于 0 . 具体做法略述如下:
第一步, 将沿路径
$$ \gamma = A{M}_{01}{M}_{02}\cdots {M}_{0,n - 1}A $$
的积分转换成沿路径
$$ A{M}_{11}{M}_{01}{M}_{02}\cdots {M}_{0,n - 1}A $$
的积分,这里的 $A{M}_{11}{M}_{01}$ 是 $H\left( {\mathrm{{Bd}}{\Pi }_{11}}\right)$ 的一部分 (参看图 16-20).
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/101.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 16-20
第二步,再将沿路径 $A{M}_{11}{M}_{01}{M}_{02}\cdots {M}_{0,n - 1}A$ 的积分转换成沿路径
$$ A{M}_{11}{M}_{01}{M}_{11}{M}_{12}{M}_{02}\cdots {M}_{0,n - 1}A $$
的积分 $\left( {{M}_{01}{M}_{11}{M}_{12}{M}_{02}}\right.$ 这一段是 $H\left( {\mathrm{{Bd}}{\Pi }_{12}}\right)$ 的一部分). 这后一积分沿曲线段 ${M}_{11}{M}_{01}$ 和 ${M}_{01}{M}_{11}$ 的部分互相抵消,所以能转化成沿着路径
$$ A{M}_{11}{M}_{12}{M}_{02}\cdots {M}_{0,n - 1}A $$
的积分. 这样逐次做下去,可以将原来沿闭曲线 $\gamma$ 的积分化成沿闭曲线
$$ {\gamma }_{1} = A{M}_{11}{M}_{12}\cdots {M}_{1,n - 1}A $$
的积分, 然后再转化成沿闭曲线
$$ {\gamma }_{2} = A{M}_{21}{M}_{22}\cdots {M}_{2,n - 1}A $$
的积分,……最后转化成沿闭曲线
$$ {\gamma }_{n - 1} = A{M}_{n - 1,1}{M}_{n - 1,2}\cdots {M}_{n - 1,n - 1}A $$
的积分. 整个转化过程可以简略地写成如下的一组等式——所有积分的被积表示式都是
$$ P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z, $$
为书写简便起见而省略了.
$$ {\oint }_{\gamma } = {\oint }_{A{M}_{01}{M}_{02}\cdots {M}_{0,n - 1}A} $$
$$ = {\oint }_{A{M}_{11}{M}_{01}{M}_{02}\cdots {M}_{0,n - 1}A} $$
$$ = {\oint }_{A{M}_{11}{M}_{12}{M}_{02}\cdots {M}_{0,n - 1}A} $$
$$ = {\oint }_{A{M}_{11}{M}_{12}\cdots {M}_{1,n - 1}A} $$
$$ = {\oint }_{A{M}_{21}{M}_{22}\cdots {M}_{2,n - 1}A} $$
$$ = \cdots $$
$$ = {\oint }_{A{M}_{n - 1,1}{M}_{n - 1,2}\cdots {M}_{n - 1,n - 1}A}\text{ . } $$
因为闭曲线 ${\gamma }_{n - 1} = A{M}_{n - 1,1}{M}_{n - 1,2}\cdots {M}_{n - 1,n - 1}A$ 上各点离 $A$ 点的距离都小于 $\varepsilon$ ,即 ${\gamma }_{n - 1}$ 完全包含在 $A$ 点的 $\varepsilon$ 球形邻域之中,所以根据定理 4 应有
$$ {\oint }_{{\gamma }_{n - 1}}P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z = 0. $$
这样, 我们证明了
$$ {\oint }_{\gamma }P\mathrm{\;d}x + Q\mathrm{\;d}y + R\mathrm{\;d}z = 0. $$
定理 5 的证明到此完成.
注记 上面证明开始时所述的局部修改,可以通过多项式插值的办法作出. 设待修改的分段连续曲线是
$$ {\gamma }_{0}\left( t\right) = \left( {{\varphi }_{0}\left( t\right) ,{\psi }_{0}\left( t\right) ,{\omega }_{0}\left( t\right) }\right) . $$
为叙述省事起见,不妨设曲线 ${\gamma }_{0}$ 只有一个例外点 $M$ . 在这例外点两侧邻近的曲线上各取一点 ${M}^{\prime }$ 和 ${M}^{\prime \prime }$ (分别对应于参数 ${t}^{\prime }$ 和 ${t}^{\prime \prime }$ ). 我们作待定系数的三次多项式
$$ \varphi \left( t\right) = \lambda + {\mu t} + \nu {t}^{2} + \rho {t}^{3}, $$
要求它满足条件
$$ \left\{ \begin{array}{ll} \varphi \left( {t}^{\prime }\right) = {\varphi }_{0}\left( {t}^{\prime }\right) , & {\varphi }^{\prime }\left( {t}^{\prime }\right) = {\varphi }_{0}^{\prime }\left( {t}^{\prime }\right) \\ \varphi \left( {t}^{\prime \prime }\right) = {\varphi }_{0}\left( {t}^{\prime \prime }\right) , & {\varphi }^{\prime }\left( {t}^{\prime \prime }\right) = {\varphi }_{0}^{\prime }\left( {t}^{\prime \prime }\right) . \end{array}\right. $$
上面的条件可以看成关于未知数 $\lambda ,\mu ,\nu ,\rho$ 的线性方程组,该方程组的系数行列式等于 ${\left( {t}^{\prime } - {t}^{\prime \prime }\right) }^{4} > 0$ . 解这方程组就可以定出 $\lambda ,\mu ,\nu ,\rho$ 从而定出 $\varphi \left( t\right)$ 来. 用类似的办法可以相应地确定 $\psi \left( t\right)$ 和 $\omega \left( t\right)$ . 这样作出的修改曲线
$$ \gamma \left( t\right) = \left( {\psi \left( t\right) ,\varphi \left( t\right) ,\omega \left( t\right) }\right) $$
就能满足我们的要求.