📝 题目
例 1 求解方程
$$ {\mathrm{e}}^{y}\mathrm{\;d}x + \left( {x{\mathrm{e}}^{y} + {2y}}\right) \mathrm{d}y = 0. $$
💡 答案与解析
解 将方程左端的微分式分成两组:
$$ \left( {{\mathrm{e}}^{y}\mathrm{\;d}x + x{\mathrm{e}}^{y}\mathrm{\;d}y}\right) + {2y}\mathrm{\;d}y = 0. $$
很容易看出:第一组微分式的一个原函数是 $x{\mathrm{e}}^{y}$ ,第二组微分式的一个原函数是 ${y}^{2}$ . 因而原方程左端微分式的一个原函数是
$$ x{\mathrm{e}}^{y} + {y}^{2}\text{ . } $$
原方程的通解 (通积分) 为
$$ x{\mathrm{e}}^{y} + {y}^{2} = C. $$