📝 题目
例 7 求解方程
$$ \left( {{x}^{2} + {y}^{2} - y}\right) \mathrm{d}x + x\mathrm{\;d}y = 0. $$
💡 答案与解析
解 将这方程改写为
$$ \left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) \mathrm{d}x + x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x = 0. $$
很容易看出一个积分因子
$$ \mu = \frac{1}{{x}^{2} + {y}^{2}}. $$
用这因子乘方程两边, 就得到
$$ \mathrm{d}x + \frac{x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}{{x}^{2} + {y}^{2}} = 0. $$
我们求得原方程的通解
$$ x + \arctan \frac{y}{x} = C. $$