📝 题目
例 8 求解方程
$$ y\mathrm{\;d}x + x\left( {1 + {x}^{2}{y}^{2}}\right) \mathrm{d}y = 0. $$
💡 答案与解析
解 这方程可改写为
$$ \left( {y\mathrm{\;d}x + x\mathrm{\;d}y}\right) + {x}^{3}{y}^{2}\mathrm{\;d}y = 0. $$
形状如 $\varphi \left( {xy}\right)$ 的函数都是前一组的积分因子. 我们选择 $\varphi$ 以使 $\varphi \left( {xy}\right)$ 也是后一组的积分因子. 容易看出,只要取
$$ \varphi \left( u\right) = {u}^{-3} $$
就能达到目的. 以因子
$$ \mu = \varphi \left( {xy}\right) = \frac{1}{{x}^{3}{y}^{3}} $$
乘方程两边就得到
$$ \frac{y\mathrm{\;d}x + x\mathrm{\;d}y}{{x}^{3}{y}^{3}} + \frac{\mathrm{d}y}{y} = 0. $$
积分得
$$ - \frac{1}{2{x}^{2}{y}^{2}} + \ln \left| y\right| = C. $$
另外,因为我们乘了因子 $\frac{1}{{x}^{3}{y}^{3}}$ ,可能会失掉 $x = 0$ 或 $y = 0$ 这样的解. 经检验, $x = 0$ 和 $y = 0$ 都是原方程的解 ${}^{\text{ ① }}$ .