第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 · 第9题

解 参看图 16-21. 根据条件应有

$$ \alpha = \beta = \varphi . $$

于是

$$ \theta = \alpha + \varphi = {2\beta }, $$

$$ \tan \theta = \tan {2\beta } = \frac{2\tan \beta }{1 - {\tan }^{2}\beta }. $$

但

$$ \tan \theta = \frac{y}{x},\;\tan \beta = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}. $$

所以有

$$ \frac{y}{x} = \frac{2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}}{1 - {\left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}\right) }^{2}}. $$

解这个关于 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}$ 的二次方程,我们得到

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = \frac{-x \pm \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}}{y}. $$

由此得到

$$ x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y = \pm \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}\mathrm{\;d}x. $$

容易看出这方程的一个积分因子

$$ \mu = \frac{1}{\pm \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}}. $$

以这因子乘之, 就得到

$$ \frac{x\mathrm{\;d}x + y\mathrm{\;d}y}{\pm \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}} = \mathrm{\;d}x. $$

积分得

$$ \pm \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} = x + C. $$

由此得到

$$ {y}^{2} = {2Cx} + {C}^{2}, $$

即

$$ {y}^{2} = {2C}\left( {x + \frac{C}{2}}\right) . $$

这是以原点为焦点的抛物线族. 在学习一元函数微分学时, 我们已经知道抛物线具有这种光学性质. 现在, 我们又证明了逆命题: 具有这种光学性质的曲线只能是以上抛物线族中的一条抛物线.

\customfootnote{

① 对于写成

$$ M\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x + N\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = 0 $$

形式的微分方程,我们不但寻求形状如 $y = y\left( x\right)$ 的解,而且也寻求形状如 $x = x\left( y\right)$ 的解.

}