📝 题目
例 1 设 $r > 0$ . 试考察等比级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{r}^{n - 1} $$
的敛散性.
💡 答案与解析
解 如果 $r < 1$ ,那么这级数收敛:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{r}^{n - 1} = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\frac{1 - {r}^{N}}{1 - r} = \frac{1}{1 - r}. $$
如果 $r \geq 1$ ,那么
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{r}^{n - 1} \geq N $$
因而等比级数发散,其和为 $\displaystyle{+ \infty}$ .