📝 题目
例 2 试考察级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{n\left( {n + 1}\right) } $$
💡 答案与解析
解 计算这级数的第 $N$ 个部分和 ${S}_{N}$ 可得
$$ {S}_{N} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{1}{n\left( {n + 1}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}}\right) $$
$$ = 1 - \frac{1}{N + 1}\text{ . } $$
由此看出级数是收敛的, 并得到
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{n\left( {n + 1}\right) } = 1. $$