📝 题目
例 3 设 $x \in \left( {0,\pi }\right)$ ,试考察级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\sin \frac{x}{{n}^{2}} $$
是否收敛.
💡 答案与解析
解 我们有
$$ 0 \leq \sin \frac{x}{{n}^{2}} \leq \frac{x}{{n}^{2}},\;\forall n \geq 2. $$
因为级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{2}}}$ 收敛,所以级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\sin \frac{x}{{n}^{2}} $$
也收敛.