📝 题目
例 5 设 $x \in \left( {0,\pi }\right)$ . 试判别以下级数是否收敛:
(a) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \cos \frac{x}{n}}\right)$ ; (b) $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{2}^{n}\sin \frac{x}{{3}^{n}}}$ .
💡 答案与解析
解(a)我们有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1 - \cos \frac{x}{n}}{\frac{1}{{n}^{2}}} = \frac{{x}^{2}}{2}. $$
因为级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{2}}}$ 收敛,所以级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \cos \frac{x}{n}}\right) $$
也收敛.
(b) 我们有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{{2}^{n}\sin \frac{x}{{3}^{n}}}{{\left( \frac{2}{3}\right) }^{n}} = x. $$
因为级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( \frac{2}{3}\right) }^{n}$ 收敛,所以级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{2}^{n}\sin \frac{x}{{3}^{n}} $$
也收敛.