📝 题目
例 6 用定义验证, 很容易看出: 级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {\ln \left( {n + 1}\right) - \ln n}\right) $$
是发散的. 事实上, 我们有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\ln \left( {N + 1}\right) = + \infty . $$
用级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right)$ 与级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{n}}$ 做比较,我们断定后一级数是发散的:
$$ \lim \frac{\frac{1}{n}}{\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) } = 1 > 0. $$
再以级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{n}}$ 与级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\sin \frac{1}{n}}$ 做比较,我们又断定级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\sin \frac{1}{n}}$ 是发散的:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1 > 0. $$
我们知道,对正项的等比级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{r}^{n}}$ ,当 $r < 1$ 时是收敛的,当 $r$ $\geq 1$ 时是发散的. 在定理 1 中把比较的标准取成等比级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{r}^{n}}$ ,就
得到以下的柯西根式判别法.
柯西根式判别法 (普通形式) 设 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 是正项级数.
(1)如果存在 $r < 1$ 和 $N \in \mathbb{N}$ ,使得
$$ \sqrt[n]{{a}_{n}} < r,\;\forall n \geq N, $$
那么级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 收敛;
(2)如果对无穷多个 $n$ 有
$$ \sqrt[n]{{a}_{n}} \geq 1 $$
那么级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 发散.
💡 答案与解析
证明(1)在所给的条件下有
$$ {a}_{n} \leq {r}^{n},\;\forall n \geq N. $$
(2) 由所给的条件可知 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 不能趋于 0 .
以下极限形式的判别法用起来更为便利:
柯西根式判别法 (极限形式) 设 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 是正项级数,并设存在极限
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\sqrt[n]{{a}_{n}} = q $$
则有
(1)如果 $q < 1$ ,那么级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 收敛；
(2)如果 $q > 1$ ,那么级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}}$ 发散.
证明(1)对于取定的 $\varepsilon \in \left( {0,1 - q}\right)$ (例如 $\varepsilon = \frac{1 - q}{2}$ ),存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得
$$ \sqrt[n]{{a}_{n}} < q + \varepsilon < 1,\;\forall n \geq N. $$
(2)对于取定的 $\varepsilon \in \left( {0,q - 1}\right)$ ,存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得
$$ \sqrt[n]{{a}_{n}} > q - \varepsilon > 1,\;\forall n \geq N. $$
注记 对于 $q = 1$ 的情形,上面的判别法未做任何一般性的判定. 请看下面的例子: