📝 题目
证明(1)如果广义积分 (2.2) 收敛, 那么级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{{+\infty }}\left( {F\left( n\right) - F\left( {n - 1}\right) }\right) $$
也收敛. 因为
$$ f\left( n\right) \leq {\int }_{n - 1}^{n}f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( n\right) - F\left( {n - 1}\right) , $$
$$ n = 2,3,\cdots , $$
所以级数 (2.1) 也收敛.
(2)如果广义积分(2.2)发散,那么级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {F\left( {n + 1}\right) - F\left( n\right) }\right) $$
发散. 因为
$$ f\left( n\right) \geq {\int }_{n}^{n + 1}f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( {n + 1}\right) - F\left( n\right) , $$
所以级数 (2.1) 也发散.
借助于面积大小的比较, 可以作出柯西积分判别法的一个明晰的几何解释. 在图 18-1 中, 画阴影的那些矩形条的面积之和等于 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{N}f\left( n\right)$ ,较大的那些矩形条的面积之和等于
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{N - 1}}f\left( n\right) $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/103.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 18-1
将上述两个和数所表示的面积与积分
$$ {\int }_{1}^{N}f\left( x\right) \mathrm{d}x $$
所表示的面积做比较, 我们得到
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{N}f\left( n\right) \leq {\int }_{1}^{N}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{N - 1}}f\left( n\right) . $$
由此得知: 级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}f\left( n\right) $$
与积分
$$ {\int }_{1}^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x $$
有相同的敛散性质.
利用柯西积分判别法, 很容易判断以下这些级数是否收敛:
(1) $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{p}}}$ ;
(2) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{{+\infty }}\frac{1}{n{\left( \ln n\right) }^{p}}$ ;
(3) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 3}}^{{+\infty }}\frac{1}{n\ln n{\left( \ln \ln n\right) }^{p}},\cdots$ . 具体讨论如下:
(1) 与积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{p}}}$ 比较,我们断定: 当 $p > 1$ 时,级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{p}}}$ 收敛; 而当 $p \leq 1$ 时,级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{p}}}$ 发散.
(2)与积分 $\displaystyle{\int }_{2}^{+\infty }\frac{1}{x{\left( \ln x\right) }^{p}}$ 比较,我们断定:当 $p > 1$ 时,级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{{+\infty }}\frac{1}{n{\left( \ln n\right) }^{p}} $$
收敛；而当 $p \leq 1$ 时,级数发散.
(3)与积分
$$ {\int }_{3}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x\ln x{\left( \ln \ln x\right) }^{p}} $$
比较,我们断定:当 $p > 1$ 时,级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 3}}^{{+\infty }}\frac{1}{n\ln n{\left( \ln \ln n\right) }^{p}} $$
收敛；而当 $p \leq 1$ 时,级数发散.
采用大写 $O$ 记号,还可以陈述以下很方便的判别法则: 如果正项级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n} $$
满足条件
$$ {a}_{n} = O\left( \frac{1}{{n}^{p}}\right) ,\;p > 1, $$
或者
$$ {a}_{n} = O\left( \frac{1}{n{\left( \ln n\right) }^{p}}\right) ,\;p > 1, $$
或者
$$ {a}_{n} = O\left( \frac{1}{n\ln n{\left( \ln \ln n\right) }^{p}}\right) ,\;p > 1, $$
那么这级数收敛.
💡 答案与解析
证明(1)如果广义积分 (2.2) 收敛, 那么级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{{+\infty }}\left( {F\left( n\right) - F\left( {n - 1}\right) }\right) $$
也收敛. 因为
$$ f\left( n\right) \leq {\int }_{n - 1}^{n}f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( n\right) - F\left( {n - 1}\right) , $$
$$ n = 2,3,\cdots , $$
所以级数 (2.1) 也收敛.
(2)如果广义积分(2.2)发散,那么级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {F\left( {n + 1}\right) - F\left( n\right) }\right) $$
发散. 因为
$$ f\left( n\right) \geq {\int }_{n}^{n + 1}f\left( x\right) \mathrm{d}x = F\left( {n + 1}\right) - F\left( n\right) , $$
所以级数 (2.1) 也发散.
借助于面积大小的比较, 可以作出柯西积分判别法的一个明晰的几何解释. 在图 18-1 中, 画阴影的那些矩形条的面积之和等于 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{N}f\left( n\right)$ ,较大的那些矩形条的面积之和等于
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{N - 1}}f\left( n\right) $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/103.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 18-1
将上述两个和数所表示的面积与积分
$$ {\int }_{1}^{N}f\left( x\right) \mathrm{d}x $$
所表示的面积做比较, 我们得到
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{N}f\left( n\right) \leq {\int }_{1}^{N}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{N - 1}}f\left( n\right) . $$
由此得知: 级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}f\left( n\right) $$
与积分
$$ {\int }_{1}^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x $$
有相同的敛散性质.
利用柯西积分判别法, 很容易判断以下这些级数是否收敛:
(1) $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{p}}}$ ;
(2) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{{+\infty }}\frac{1}{n{\left( \ln n\right) }^{p}}$ ;
(3) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 3}}^{{+\infty }}\frac{1}{n\ln n{\left( \ln \ln n\right) }^{p}},\cdots$ . 具体讨论如下:
(1) 与积分 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{x}^{p}}}$ 比较,我们断定: 当 $p > 1$ 时,级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{p}}}$ 收敛; 而当 $p \leq 1$ 时,级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{n}^{p}}}$ 发散.
(2)与积分 $\displaystyle{\int }_{2}^{+\infty }\frac{1}{x{\left( \ln x\right) }^{p}}$ 比较,我们断定:当 $p > 1$ 时,级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 2}}^{{+\infty }}\frac{1}{n{\left( \ln n\right) }^{p}} $$
收敛；而当 $p \leq 1$ 时,级数发散.
(3)与积分
$$ {\int }_{3}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x\ln x{\left( \ln \ln x\right) }^{p}} $$
比较,我们断定:当 $p > 1$ 时,级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 3}}^{{+\infty }}\frac{1}{n\ln n{\left( \ln \ln n\right) }^{p}} $$
收敛；而当 $p \leq 1$ 时,级数发散.
采用大写 $O$ 记号,还可以陈述以下很方便的判别法则: 如果正项级数
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n} $$
满足条件
$$ {a}_{n} = O\left( \frac{1}{{n}^{p}}\right) ,\;p > 1, $$
或者
$$ {a}_{n} = O\left( \frac{1}{n{\left( \ln n\right) }^{p}}\right) ,\;p > 1, $$
或者
$$ {a}_{n} = O\left( \frac{1}{n\ln n{\left( \ln \ln n\right) }^{p}}\right) ,\;p > 1, $$
那么这级数收敛.