新讲 第4章 导 数 第19题

教材习题

📝 题目

例 19 求 $\psi \left( y\right) = \arctan y$ 的导数.

💡 答案解析

解 函数 $\psi \left( y\right) = \arctan y$ 是函数 $\varphi \left( x\right) = \tan x$ 的反函数,因而

$$
{\psi }^{\prime }\left( y\right) = \frac{1}{{\varphi }^{\prime }\left( {\psi \left( y\right) }\right) } = \frac{1}{\frac{1}{{\cos }^{2}\left( {\arctan y}\right) }} = {\cos }^{2}\left( {\arctan y}\right)
$$

$$
= \frac{1}{1 + {\tan }^{2}\left( {\arctan y}\right) } = \frac{1}{1 + {y}^{2}}.
$$

通过一系列例题, 我们已经求出了所有基本初等函数的导数. 现将所得的结果列表做一小结.

初等函数的导数表

\begin{center}
\adjustbox{max width=\textwidth}{
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
函数 $f\left( x\right)$ & 导数 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ & 备注 \\
\cline{1-3}
$C$ & \multirow{18}{*}{0 $m{x}^{m - 1}$ $- m{x}^{-m - 1}$ $\mu {x}^{\mu - 1}$ $\cos x$ $- \sin x$ $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ $- \frac{1}{{\sin }^{2}x}$ $\frac{1}{\sqrt{1 - {x}^{2}}}$ $- \frac{1}{\sqrt{1 - {x}^{2}}}$ $\frac{1}{1 + {x}^{2}}$ $- \frac{1}{1 + {x}^{2}}$ ${\mathrm{e}}^{x}$ ${a}^{x}\ln a$ $\frac{1}{x}$ $\frac{1}{x}{\log }_{a}\mathrm{e}$ $\frac{1}{\sqrt{{x}^{2} + {a}^{2}}}$ $\frac{1}{\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}}$} & $C$ 是常数 \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
${x}^{m}$ & & $m$ 是自然数 \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
${x}^{-m}$ & & $m$ 是自然数, $x \neq 0$ \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
${x}^{\mu }$ & & $\mu$ 是实数, $x > 0$ \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
$\sin x$ & & \phantom{X} \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
$\cos x$ & & \phantom{X} \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
$\tan x$ & & $x \neq {k\pi } + \frac{\pi }{2}$ \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
$\cot x$ & & $x \neq {k\pi }$ \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
$\arcsin x$ & & $\left| x\right| < 1$ \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
$\arccos x$ & & $\left| x\right| < 1$ \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
$\arctan x$ & & \phantom{X} \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
$\operatorname{arccot}x$ & & \phantom{X} \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
${\mathrm{e}}^{x}$ & & \phantom{X} \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
${a}^{x}$ & & $a > 0,a \neq 1$ \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
$\ln \left| x\right|$ & & $x \neq 0$ \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
${\log }_{a}\left| x\right|$ & & $a > 0,a \neq 1,x \neq 0$ \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
$\ln \left( {x + \sqrt{{x}^{2} + {a}^{2}}}\right)$ & & \phantom{X} \\
\cline{1-1}
\cline{3-3}
$\ln \left( {x + \sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}}\right)$ & & $\left| x\right| > \left| a\right|$ \\
\cline{1-3}
\hline
\end{tabular}
}
\end{center}

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：识别反函数关系
函数 ψ(y)=arctan y 是 φ(x)=tan x 的反函数，因此可以使用反函数求导法则。
公式：ψ'(y) = 1 / φ'(ψ(y))
提示：反函数求导法则：若 y=f(x) 可导且 f'(x)≠0，则其反函数 x=f^{-1}(y) 的导数为 (f^{-1})'(y)=1/f'(x)。
步骤 2/4
目标：应用反函数求导公式
代入 φ(x)=tan x，φ'(x)=1/cos²x，且 x=ψ(y)=arctan y，得 ψ'(y)=1/(1/cos²(arctan y))=cos²(arctan y)。
公式：ψ'(y) = 1 / (1/cos²(arctan y)) = cos²(arctan y)
提示：注意 φ'(x)=sec²x=1/cos²x。
步骤 3/4
目标：利用三角恒等式化简
利用恒等式 cos²θ = 1/(1+tan²θ)，其中 θ=arctan y，得 cos²(arctan y)=1/(1+tan²(arctan y))=1/(1+y²)。
公式：cos²(arctan y) = 1/(1+y²)
提示：tan(arctan y)=y，因此 tan²(arctan y)=y²。
步骤 4/4
目标：得出最终导数
因此 ψ'(y)=1/(1+y²)。
公式：d/dy arctan y = 1/(1+y²)
提示：这是反正切函数的导数公式。

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