📝 题目
例 8 高斯超几何级数定义为
$$ 1 + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{\alpha \left( {\alpha + 1}\right) \cdot \cdots \cdot \left( {\alpha + n - 1}\right) \cdot \beta \left( {\beta + 1}\right) \cdot \cdots \cdot \left( {\beta + n - 1}\right) }{n!\gamma \left( {\gamma + 1}\right) \cdot \cdots \cdot \left( {\gamma + n - 1}\right) }{x}^{n}. $$
设 $\alpha ,\beta ,\gamma ,x > 0$ ,试考察该级数的敛散情况.
💡 答案与解析
解 我们有
$$ \frac{{a}_{n}}{{a}_{n + 1}} = \frac{\left( {n + 1}\right) \left( {\gamma + n}\right) }{\left( {\alpha + n}\right) \left( {\beta + n}\right) }\frac{1}{x} = \frac{\left( {1 + \frac{1}{n}}\right) \left( {1 + \frac{\gamma }{n}}\right) }{\left( {1 + \frac{\alpha }{n}}\right) \left( {1 + \frac{\beta }{n}}\right) }\frac{1}{x}. $$
因为
$$ {\left( 1 + \frac{\alpha }{n}\right) }^{-1} = 1 - \frac{\alpha }{n} + O\left( \frac{1}{{n}^{2}}\right) , $$
$$ {\left( 1 + \frac{\beta }{n}\right) }^{-1} = 1 - \frac{\beta }{n} + O\left( \frac{1}{{n}^{2}}\right) , $$
所以
$$ \frac{{a}_{n}}{{a}_{n + 1}} = \frac{1}{x}\left( {1 + \frac{1 + \gamma - \alpha - \beta }{n} + O\left( \frac{1}{{n}^{2}}\right) }\right) . $$
根据高斯判别法可以断定:
如果 $x < 1$ ,或者 $x = 1,\gamma > \alpha + \beta$ ,那么该级数收敛;
如果 $x > 1$ ,或者 $x = 1,\gamma \leq \alpha + \beta$ ,那么该级数发散.