📝 题目
例 3 设级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 的各项都不等于 0 (可以放宽到: 至多有限项为 0 ),则有:
(1)如果
$$ \overline{\lim }\left| \frac{{a}_{n + 1}}{{a}_{n}}\right| < 1, $$
那么级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 绝对收敛;
(2)如果
$$ \underline{\lim }\left| \frac{{a}_{n + 1}}{{a}_{n}}\right| > 1 $$
那么级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 发散.
💡 答案与解析
证明 结论 (1) 是显然的. 对于结论 (2) 中的情形,存在 ${n}_{0} \in \mathbb{N}$ , 使得只要 $n \geq {n}_{0}$ ,就有
$$ \left| {a}_{{n}_{0}}\right| < \cdots < \left| {a}_{n}\right| < \left| {a}_{n + 1}\right| < \cdots . $$
由此得知: $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 不能趋于 0 .
为了考察条件收敛性, 我们需要另外一些判别法.