📝 题目
例 4 (关于交错级数的莱布尼茨判别法)
设序列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 单调下降趋于 0,则以下级数收敛:
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n - 1}{a}_{n} $$
💡 答案与解析
证明 我们记
$$ {b}_{k} = {\left( -1\right) }^{k - 1},\;k = 1,2,\cdots , $$
则显然有
$$ \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{b}_{k}}\right| \leq 1,\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
根据狄利克雷判别法就可以断定级数
$$ \sum {a}_{n}{b}_{n} = \sum {\left( -1\right) }^{n - 1}{a}_{n} $$
收敛.