📝 题目
例 6 设级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{b}_{n}}$ 收敛, $\alpha \geq 0$ . 求证:
(1) 级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{{b}_{n}}{{n}^{a}}}$ 收敛;
(2) 级数 $\displaystyle{\sum \frac{{n}^{a}}{{n}^{a} + 1}{b}_{n}}$ 收敛.
💡 答案与解析
证明 利用阿贝尔判别法就可证明(1). 为了证明(2), 我们指
出
$$ \frac{{n}^{a}}{{n}^{a} + 1}{b}_{n} = {b}_{n} - \frac{{b}_{n}}{{n}^{a} + 1},\;\forall n \in \mathbb{N}. $$
根据阿贝尔判别法很容易断定级数
$$ \sum \frac{{b}_{n}}{{n}^{a} + 1} $$
收敛. 因而级数
$$ \sum \frac{{n}^{\alpha }}{{n}^{\alpha } + 1}{b}_{n} $$
也收敛.