📝 题目
例 6 考察函数序列
$$ {f}_{n}\left( x\right) = 2{n}^{2}x{\mathrm{e}}^{-{n}^{2}{x}^{2}},\;n = 1,2,\cdots . $$
这函数序列在区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上逐点收敛于函数
$$ f\left( x\right) = 0. $$
但我们有
$$ {f}_{n}\left( \frac{1}{n}\right) - f\left( \frac{1}{n}\right) = {2n}{\mathrm{e}}^{-1} \rightarrow + \infty . $$
因而这函数序列在区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上不一致收敛.
利用下面的柯西原理,无须事先求出极限函数,就能判别一个函数序列是否一致收敛.
定理 2 (一致收敛的柯西原理) 设函数序列 $\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 的各项在集合 $E$ 上有定义. 则这序列在 $E$ 上一致收敛于某极限函数的充要条件是: 对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 $N = N\left( \varepsilon \right) \in \mathbb{N}$ ,使得只要 $m,n > N$ ,就有
$$ \left| {{f}_{m}\left( x\right) - {f}_{n}\left( x\right) }\right| < \varepsilon ,\;\forall x \in E. $$
💡 答案与解析
证明 先证必要性. 设函数序列 $\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 一致收敛于函数 $f\left( x\right)$ . 则对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得 $n > N$ 时,
$$ \left| {{f}_{n}\left( x\right) - f\left( x\right) }\right| < \frac{\varepsilon }{2},\;\forall x \in E. $$
于是,只要 $m,n > N$ ,就有
$$ \left| {{f}_{m}\left( x\right) - {f}_{n}\left( x\right) }\right| $$
$$ \leq \left| {{f}_{m}\left( x\right) - f\left( x\right) }\right| + \left| {f\left( x\right) - {f}_{n}\left( x\right) }\right| $$
$$ < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon ,\;\forall x \in E. $$
再证充分性. 对任意取定的 ${x}_{0} \in E$ ,数列 $\left\{ {{f}_{n}\left( {x}_{0}\right) }\right\}$ 满足柯西条件,因而收敛于一个实数. 我们记这实数为 $f\left( {x}_{0}\right)$ . 用这样的方式, 定义了一个函数
$$ f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{f}_{n}\left( x\right) ,\;x \in E. $$
对任意的 $\varepsilon > 0$ ,存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得只要 $n > N,p \in \mathbb{N}$ ,就有
$$ \left| {{f}_{n}\left( x\right) - {f}_{n + p}\left( x\right) }\right| < \varepsilon ,\;\forall x \in E. $$
在上面的不等式中让 $\displaystyle{p \rightarrow + \infty}$ 取极限,就得到
$$ \left| {{f}_{n}\left( x\right) - f\left( x\right) }\right| \leq \varepsilon ,\;\forall x \in E. $$
这就证明了函数序列 $\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 一致收敛于函数 $f\left( x\right)$ .