📝 题目
例 7 设函数序列 $\left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 在 $E$ 上一致收敛,而函数 $\varphi \left( x\right)$ 在 $E$ 上有界. 则函数序列 $\left\{ {\varphi \left( x\right) {f}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 也在 $E$ 上一致收敛.
事实上, 设
$$ \left| {\varphi \left( x\right) }\right| \leq M,\;\forall x \in E, $$
则有
$$ \left| {\varphi \left( x\right) {f}_{m}\left( x\right) - \varphi \left( x\right) {f}_{n}\left( x\right) }\right| \leq M\left| {{f}_{m}\left( x\right) - {f}_{n}\left( x\right) }\right| ,\;\forall x \in E. $$
定理 2 (一致收敛的柯西原理——级数形式)
设函数级数 $\displaystyle \sum {u}_{n}\left( x\right)$ 的每一项都在集合 $E$ 上有定义,则这级数在 $E$ 上一致收敛的充要条件是: 对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 $N = N\left( \varepsilon \right) \in$ $\mathbb{N}$ ,使得只要 $n > N,p \in \mathbb{N}$ ,就有
$$ \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{{n + p}}{u}_{k}\left( x\right) }\right| < \varepsilon ,\;\forall x \in E. $$
推论 如果函数级数 $\displaystyle \sum \left| {{u}_{n}\left( x\right) }\right|$ 在集合 $E$ 上一致收敛,那么函数级数 $\displaystyle \sum {u}_{n}\left( x\right)$ 也在集合 $E$ 上一致收敛.
下面介绍关于函数级数一致收敛性的一些常用的判别法.
定理 3 (魏尔斯特拉斯判别法) 设函数级数 $\displaystyle \sum {u}_{n}\left( x\right)$ 的各项在集合 $E$ 上有定义. 如果存在收敛的数项级数 $\displaystyle{\sum {M}_{n}}$ ,使得
$$ \left| {{u}_{n}\left( x\right) }\right| \leq {M}_{n},\;\forall x \in E, $$
$$ n = 1,2,\cdots , $$
那么函数级数 $\displaystyle \sum {u}_{n}\left( x\right)$ 在集合 $E$ 上一致收敛.
💡 答案与解析
证明 因为数项级数 $\displaystyle{\sum {M}_{n}}$ 收敛,所以对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 $N = N\left( \varepsilon \right) \in \mathbb{N}$ ,使得只要 $n > N,p \in \mathbb{N}$ ,就有
$$ \mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{{n + p}}{M}_{k} < \varepsilon . $$
于是,只要 $n > N,p \in \mathbb{N}$ ,就有
$$ \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{{n + p}}{u}_{k}\left( x\right) }\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{{n + p}}{M}_{k} < \varepsilon ,\;\forall x \in E. $$
由柯西原理就可断定函数级数 $\displaystyle \sum {u}_{n}\left( x\right)$ 在集合 $E$ 上一致收敛.
注记 满足定理 2 中条件的数项级数 $\displaystyle{\sum {M}_{n}}$ 被称为函数级数 $\displaystyle \sum {u}_{n}\left( x\right)$ 的 “优级数”.