📝 题目
例 8 设数项级数 $\displaystyle{\sum {a}_{n}}$ 绝对收敛. 我们来考察两个函数级数
$$ \sum {a}_{n}\cos {nx}\text{ 和 }\sum {a}_{n}\sin {nx}. $$
因为
$$ \left| {{a}_{n}\cos {nx}}\right| \leq \left| {a}_{n}\right| ,\;\left| {{a}_{n}\sin {nx}}\right| \leq \left| {a}_{n}\right| , $$
所以 $\displaystyle{\sum \left| {a}_{n}\right|}$ 是两函数级数的优级数. 根据魏尔斯特拉斯判别法,我们断定: 两函数级数 (在任何集合 $E \subset \mathbb{R}$ 上) 都是一致收敛的.
魏尔斯特拉斯判别法只适用于判别绝对一致收敛的函数级数. 关于条件收敛级数的一致收敛性, 有以下的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法.
定理 4 (狄利克雷判别法) 我们来考察这样的函数级数
$$ \sum {a}_{n}\left( x\right) {b}_{n}\left( x\right) ,\;x \in E. $$
如果
(1)序列 $\left\{ {{a}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 对每一取定的 $x \in E$ 都是单调的,并且该函数序列在 $E$ 上一致地趋于 0 ;
(2)函数级数 $\displaystyle \sum {b}_{n}\left( x\right)$ 的部分和序列在 $E$ 上一致有界:
$$ \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{b}_{k}\left( x\right) }\right| \leq L,\;\forall n \in \mathbb{N},x \in E, $$
那么级数 $\displaystyle \sum {a}_{n}\left( x\right) {b}_{n}\left( x\right)$ 在 $E$ 上一致收敛.
💡 答案与解析
证明 我们用阿贝尔引理来估计
$$ \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{{n + p}}{a}_{k}\left( x\right) {b}_{k}\left( x\right) }\right| . $$
因为
$$ \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{{n + p}}{b}_{k}\left( x\right) }\right| \leq {2L},\;\forall x \in E, $$
所以
$$ \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{{n + p}}{a}_{k}\left( x\right) {b}_{k}\left( x\right) }\right| $$
$$ \leq {2L}\left( {\left| {{a}_{n + 1}\left( x\right) }\right| + 2\left| {{a}_{n + p}\left( x\right) }\right| }\right) ,\;\forall x \in E. $$
又因为函数序列 $\left\{ {{a}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 在 $E$ 上一致地趋于 0,所以对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 $N = N\left( \varepsilon \right) \in \mathbb{N}$ ,使得只要 $n > N$ ,就有
$$ \left| {{a}_{n}\left( x\right) }\right| < \frac{\varepsilon }{6L},\;\forall x \in E. $$
于是, $n > N$ 时就有
$$ \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{{n + p}}{a}_{k}\left( x\right) {b}_{k}\left( x\right) }\right| < \varepsilon ,\;\forall p \in \mathbb{N},x \in E. $$
根据柯西原理,我们断定级数 $\displaystyle \sum {a}_{n}\left( x\right) {b}_{n}\left( x\right)$ 在集合 $E$ 上一致收敛.
定理 5 (阿贝尔判别法) 考察函数级数
$$ \sum {a}_{n}\left( x\right) {b}_{n}\left( x\right) . $$
如果
(1)序列 $\left\{ {{a}_{n}\left( x\right) }\right\}$ 对每一取定的 $x \in E$ 都是单调的,并且这函数序列在 $E$ 上一致有界:
$$ \left| {{a}_{n}\left( x\right) }\right| \leq M,\;\forall n \in \mathbb{N},x \in E; $$
(2)函数级数 $\displaystyle \sum {b}_{n}\left( x\right)$ 在 $E$ 上一致收敛,
那么函数级数 $\displaystyle \sum {a}_{n}\left( x\right) {b}_{n}\left( x\right)$ 也在集合 $E$ 上一致收敛.
证明 因为 $\displaystyle \sum {b}_{n}\left( x\right)$ 在 $E$ 上一致收敛,所以对任何 ${\varepsilon }^{\prime } > 0$ ,存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得只要
$$ n > N,p \in \mathbb{N}, $$
就有
$$ \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{{n + p}}{b}_{k}\left( x\right) }\right| < {\varepsilon }^{\prime }. $$
利用阿贝尔引理估计 $\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{{n + p}}{a}_{k}\left( x\right) {b}_{k}\left( x\right)$ ,我们得到
$$ \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{{n + p}}{a}_{k}\left( x\right) {b}_{k}\left( x\right) }\right| $$
$$ \leq {\varepsilon }^{\prime }\left( {\left| {{a}_{n + 1}\left( x\right) }\right| + 2\left| {{a}_{n + p}\left( x\right) }\right| }\right) $$
$$ \leq {3M}{\varepsilon }^{\prime },\;\forall p \in \mathbb{N},x \in E. $$
对于任何 $\varepsilon > 0$ ,我们当然可以选取 ${\varepsilon }^{\prime } > 0$ ,使得
$$ {3M}{\varepsilon }^{\prime } < \varepsilon \text{ . } $$